Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 38

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 247 >> Следующая

Следствие 3. Каждая конечная система векторов хъ ..., хп содержит (возможно, пустую) линейно независимую подсистему, от которой все х; (і = 1, ..., п) линейно зависимы.
Доказательство. Найдем в данной системе по возможности большую подсистему из линейно независимых векторов. Каждый содержащийся в этой подсистеме вектор х{ линейно зависим от этой системы в силу основной теоремы 1, как и каждый не содержащийся в ЭТОЙ системе вектор Хі в силу следствия 2.
Определение. Две конечные системы хъ ..., хг и у ъ ... ..., у8 называются (линейно) эквивалентными, если каждый ук
ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ
85
линейно зависим от хъ ..., хг, а каждый х1 линейно зависим от У1 У*-
Определение эквивалентности по самому своему построению симметрично, в силу основной теоремы 1 рефлексивно, а в силу основной теоремы 3 транзитивно. Если некоторый элемент г линейно зависим от одной из двух эквивалентных систем, то согласно основной теореме 3 он зависит и от другой системы. Согласно следствию 3 каждая конечная система эквивалентна некоторой линейно независимой подсистеме.
Следующая теорема о замене принадлежит Штей-ницу:
Следствие 4. Если векторы уъ ..., линейно независимы и каждый У] линейно выражается через векторы хъ ..., хп то в системе векторов Х{ существует подсистема {л:^, ..., лу в точности из в векторов такая, что ее можно заменить на систему векторов ..., и полученная так из {лг1( ..., хг\ новая
система будет эквивалентна исходной системе {л^, ..., хг). В частности, обязательно в г.
Доказательство. Для в = 0 утверждение тривиально: в этом случае нет векторов у1 и нечего заменять. Пусть, таким образом, утверждение верно для {_уь ..., 3^ х} и пусть подсистему {л-у ..., можно заменить на {уъ ...,_у^_1’}. При этой
замене возникает система ...,_у^ь хк, х[г ...}, эквивалентная системе {хг, ..., хГ}. Вектору линейно зависим от {л^, ... ..., хг), а потому и от эквивалентной системы {_уг, ..., з^, хк, Х1,...}. Таким образом, существует наименьшее по включению подмножество в {_У!, ..., уз^г, Хк, XI, ...}, от которого 3^ линейно зависим. Это наименьшее подмножество не может состоять только из упомянутых выше _у;, так как у} и у8 линейно независимы. Следовательно, наименьшее подмножество {_у;, ..., хк} содержит по крайней мере один из векторов хк, которой мы обозначим через д:, . В силу основной теоремы 2 вектор хк = хь линейно
зависим от системы, которая получается из {у1, ..., л;*} заменой хк на уЛ\ поэтому этот вектор линейно зависим и от большей системы, содержащей построенную, которая получается из {_уь ... ..., _у4_х, хк, Х1, ...} заменой Хк'—+уя- Пусть эта система имеет
вид {_у,, ..., у5 х, Уз, Х[, ...}. Она эквивалентна системе {_ух, ...
•••> ^1. Х1, ...}, так как хк линейно зависит от первой системы, а уа — от второй. Тем самым мы осуществили еще один
шаг в направлении замены: новая система {з>ъ ..., 3^1, у3, х{, ...} эквивалентна системе {3^, ..., з^_1( хк, хи ...}, а потому и исходной системе {дсх, ..., хг}-
Следствие 5. Лее эквивалентные линейно независимые системы {лт, • • •, хг) и {3^, ..., 3;^} состоят из одинакового количества векторов.
86
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ IV
Доказательство. В силу следствия 4 имеют место неравенства и
Из следствия 5 немедленно получается, что два любых базиса {л-!, л-,-} и {_ух, _уД векторного пространства ЯК со-
стоят из одного и того же количества элементов. Таким образом, размерность векторного пространства ЯК не зависит от выбора базиса. Размерность называют также линейным рангом или рангом пространства ЯК над телом К-
Если ЯК имеет размерность г над К, то из теоремы о замене следует, что среди лкбых г-\-1 элементов пространства ЯК есть хотя бы один, линейно зависимый от всех остальных. Таким образом, можно определить размерность как максимальное число линейно независимых элементов из ЯК. Отсюда:
Линейное подпространство 'К пространства ЯК (т. е. подмодуль, в котором сохраняется умножение на элементы из К) имеет размерность, не большую, чем размерность всего про-
странства ЯК.
Если /?,, ..., рг составляют базис для ЯК, а еъ ..., е3 —
базис для К, то по теореме о замене можно вместо {ръ ..., рг) построить другую эквивалентную систему, в которой первыми я элементами будут еъ ..., е$. Остальные р{ можно обозначить через ех?1, ..., ег. Так получится новая система из порождающих элементов:
{^і, .. •, є..., єД.
Она вновь линейно независима, так как иначе размерность пространства ЯК оказалась бы меньше г. Таким образом:
Любой базис линейного подпространства размерности в можно дополнить до базиса всего пространства ЯК некоторыми векторами ех11, ..., ег.
Задача 1. Обычные комплексные числа а + 6/ образуют двумерное векторное пространство над полем вещественных чисел.
Задача 2. Непрерывные вещественные функции \(х) на интервале образуют векторное пространство над полем вещественных чисел, ранг которого бесконечен.
§ 21. Двойственное векторное пространство
Пусть 301 — некоторое «-мерное векторное пространство над телом К. Линейной формой на ЯК называется определенная на ЯК функция / со значениями /(л-) в теле К, являющаяся линейной в следующем смысле:
Предыдущая << 1 .. 32 33 34 35 36 37 < 38 > 39 40 41 42 43 44 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed