Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
(хк-ук) = 0,
где все разности хк — ук должны были бы равняться нулю; поэтому ук обязательно равно хк для каждого 1г.
С помощью (3) каждому вектору X единственным образом сопоставляется ряд коэффициентов х1,.. ,,хп из К, которые называются координатами вектора х в базисе ръ ..., рп. Обратно, каждому набору из п коэффициентов хк с помощью (3) однозначным образом сопоставляется вектор х. Следовательно, при фиксированном базисе имеет место взаимно однозначное соответствие
х^(хг, ..., хп). (5)
Два вектора можно сложить, складывая их координаты:
* +у = Ц РкХк+2 РкУк = Ц Рк(хк+ук);
вектор умножается на а, когда все его координаты умножаются на а:
ха = {ИР**") а==ЦРк (х"а).
Число п базисных векторов называется равномерностью векторного пространства ЭЛ. В следующем параграфе мы увидим, что размерность не зависит от выбора базиса.
Векторное пространство размерности п, которое может служить моделью любого векторного пространства этой размерности, получается следующим образом. В качестве вектора х берется последовательность из п элементов х1, ... ,хп тела К. Суммой двух векторов X и у является последовательность
(х^ + у1 хп-\-уп). Вектор х умножается на скаляр а путем
умножения на а каждого из элементов хк. Определенные таким способом сложение и умножение на а удовлетворяют всем условиям, с помощью которых вводится понятие векторного пространства. Векторы
в* = (0 О, 1,0..........0) (1 стоит на 6-м месте),
которых всего п, составляют базис, потому что каждый вектор х = (х1, ..., хп) допускает однозначное представление в виде
х = 2 екхк.
ИНВАРИАНТНОСТЬ РАЗМЕРНОСТИ
83
Таким образом, наша модель векторного пространства действительно имеет размерность п.
Из соответствия (5) следует предложение:
Каждое векторное пространство размерности п над К изоморфно модельному пространству, состоящему из последовательностей (хх, ..., хп).
Задача Если в одном и том же векторном пространстве перейти от базиса рі,... ,рЛ к некоторому новому базису е^, ... , еп и выразить старые базисные векторы рк через новые Єї с помощью коэффициентов р1к:
Рк = ^е1Р[,
то новые координаты 'х1 вектора х будут выражаться через старые так:
§ 20. Инвариантность размерности
Мы намерены доказать, что размерность векторного пространства :ЭД, т. е. число элементов произвольного базиса, не зависит от самого базиса.
Вектор у называется линейно зависимым от векторов Лм,... ,.., хт (над телом К), если
у = х1а1 + ... + хтат, (1)
или, что то же самое, если выполнено линейное соотношение
уЬ + х:1Ь1 + ... + хтЬт = 0 (2)
с ЬфО. В частности, вектор у называется зависимым от пустого множества векторов, если _у = 0.
В связи с понятием линейной зависимости существует много теорем, которые мы разделяем на «основные» и на «следствия». Основные теоремы выводятся непосредственно из определения этого понятия. Следствия же, напротив, устанавливаются через основные теоремы без повторного использования определения, т. е. без обращения к смыслу термина «линейная зависимость». Такое положение дел оказывается полезным в связи с одной из последующих глав, посвященной понятию «алгебраической зависимости», для которого имеют место те же самые основные теоремы и поэтому те же самые следствия.
Будет достаточно трех основных теорем. Первая является совершенно естественной:
Основная теорема. I. Каждый вектор лг; линейно зависим от векторов хх,..., хп.
Основная теорема 2. Если вектор у линейно зависим от хи ..., хт, но не от лгь..., хт- г, то хт линейно зависим от хъ ... ..., хт^, у.
84
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ. IV
Доказательство. В равенстве (2) обязательно Ьт О, так как иначе у был бы зависимым уже от хи..., хт-і-
Основная теорема 3. Если г линейно зависим от уъ ... ...,уп и если каждый вектор у;- линейно зависим от хь ..хт, то вектор г линейно зависим от Х\,...,хт.
Доказательство. Из г = ^укак и Ук='УІхіЬк следует,
что
21= 2 (2 хМу = 2 Х&ак = 2 ІИ Ьіак
К \ і I
Из основных теорем 1 н 3 получается
Следствие 1. Если вектор г линейно зависим от уи ... ..., уп, то г линейно зависим и от каждой системы {хъ ..., хт], содержащей систему ..., уп}.
Частный случай такой ситуации имеет место тогда, когда у1у уп совпадают с точностью до порядка следования с век-
торами ..., хт. Таким образом, понятие линейной зависимости не зависит от порядка следования хъ ..., хт.
Определение. Элементы х1г ..., х„ называются линейно независимыми, если ни один из них не является линейно зависимым от остальных.
Понятие линейной независимости не связано с порядком следования векторов хъ ..., хп. Пустое множество должно, конечно, считаться линейно независимым. Один-единственный вектор х линейно независим, если он не является зависимым от пустого множества векторов, т. е. если хфО.
Следствие 2. Если х±, ..., Хп~х линейно независимы, а хъ ..., хп-ъ Хп таковыми не являются, то хп линейно зависим от хЛ, ..., хп х.
Доказательство. Один из элементов хи .... хп-\, хп должен быть линейно зависимым от остальных. Если этим элементом является хп, то все доказано. Если же им является не х„, а, скажем, хп-ъ то хп-Л линейно зависим от хг, ..., хп-2, хп, но не от лгі, ..., хп-2, следовательно (основная теорема 2), элемент хп линейно зависим от хъ .... хп.2, Хпх.
