Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 36

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 247 >> Следующая

В следующей главе мы увидим, что, кроме колец главных идеалов, существуют еще и другие кольца, в которых выполняется теорема об однозначном разложении на множители. Для всех таких колец мы докажем лишь следующую теорему:
Если в кольце с каждый элемент единственным образом разлагается на простые элементы, то каждый неразложимый элемент р порождает простой идеал, а каждый отличный от нуля разложимый элемент порождает непростой идеал.
Доказательство. Пусть р — неразложимый элемент. Если аЬ = 0 (р), то, следовательно, элемент р должен содержаться в разложении аЬ на простые множители. Зто разложение получается, однако, объединением разложений для а и для Ь. Следовательно, элемент р должен входить уже в а или в Ь, а потому справедливо одно из сравнений: а==0(р) или Ь==0(р).
Пусть теперь р — разложимый элемент: р=аЬ, т. е. а и Ь — собственные делители элемента р. Тогда аЬ^О(р), а^ЁО(р), Ь^О(р). Идеал (р) не является, следовательно, простым.
Задача 7. Доказать, что в любом кольце с однозначным разложением на множители существуют наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух (или нескольких) элементов, определенные с точностью до обратимых множителей.
Замечание. Для колец рассматриваемого типа НОД в смысле элементов не всегда совпадает с НОД в смысле идеалов: например, кольцо целочисленных многочленов одной переменной х таково, что 2 и х не имеют общих делителей, кроме единицы, но идеал (2, х) единичным не является. (То, что в этом кольце имеет место однозначность разложения на множители, будет доказано в пятой главе.)
Глава четвертая
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
В настоящей главе вводятся некоторые основные понятия линейной алгебры. Их изучение в более общей форме будет продолжено в главе 12.
§ 19. Векторные пространства
Пусть даны: 1) тело К, элементы а, Ь,...которого будут называться коэффициентами или скалярами; 2) модуль (т. е. аддитивная абелева группа) ЭЛ, элементы х, у,... которого будут называться векторами; 3) умножение ха векторов на скаляры, удовлетворяющее следующим требованиям:
В1. ха лежит в ЭЛ.
В2. (х-\-у)а—ха-\-уа.
ВЗ. х (а-\-Ь)=ха-\-хЬ.
В4. х (аЬ) = (ха) Ь.
В5. х? 1 =х.
Если все это выполнено, то ЭЛ называется векторным пространством над К, точнее, правым К-векторным пространством, так как коэффициенты а пишутся справа от векторов. Понятие левого К-векторного пространства вводится аналогично; закон ассоциативности В4 для левого векторного пространства записывается так:
В4*. (аЬ) х = а (Ьх).
Если тело К коммутативно, то вместо ха можно также писать ах. В этом случае правое векторное пространство становится левым векторным пространством. Если же тело К некоммутативно, то правые и левые векторные пространства необходимо различать.
Вместо х(аЪ) или (ха) Ь мы будем писать хаЬ. Нулевой элемент группы ЭЛ, как и тела К, будет обозначаться через 0.
Примерами векторных пространств могут служить всевозможные поля, содержащие данное поле К, а в более общей ситуации — всевозможные кольца И, содержащие данное тело К, причем таким образом, что единичный элемент из К является и единичным элементом из /?.
ВЕКТОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
81
Из В2, как обычно, следует, что
Д- Хг) О, = Ххй Д-... Д- Хгйу (х—у)а =ха—уа,
О ? а = 0.
Равным образом, из ВЗ следует, что
х {й\ Д- • • • Д- а.3) = хах Д-... Д- ха5, х(а — Ь) = ха — хЬ, л;-0 = 0.
Векторное пространство ЭЛ называется конечномерным или, коротко,—конечным над К, если существует конечное число порождающих элементов еъ..., ет, через которые можно выразить с помощью коэффициентов а* из К любой элемент из ЭЛ *):
х = ^е„ак. (1)
Если один из порождающих элементов ек выражается через остальные еь то как порождающий элемент пространства ЭЛ он является лишним. Вычеркнем его из ряда ех, .. •, ет и будем так продолжать до тех пор, пока нельзя будет выбросить ни одного из порождающих элементов ер в результате останутся п базисных векторов (или базис) ръ ..., рп, из которых ни один нельзя линейно выразить через остальные. Такие векторы, среди которых ни один нельзя линейно выразить через остальные, называются линейно независимыми.
Если рх рп — линейно независимые векторы, то из
р1а1 + ...+р„а" = 0 (2)
с необходимостью следуют равенства
а1 = 0,..., ап = 0.
Действительно, если хотя бы один из элементов а1 был отличен от нуля, то из (2) можно было бы выразить вектор через остальные векторы.
Если ръ ...,рп составляют базис векторного пространства ЭЛ, то каждый вектор х однозначно выражается через базисные
векторы рк с помощью коэффициентов хк из К:
х = ^ркхк. (3)
Д Следуя Эйнштейну, мы примем соглашение о том, что в теории векторных и тензорных пространств коэффициенты ак будут наделяться верхними индексами — это по ряду причин целесообразнее. При таком соглашении суммирования ведутся по индексам, которые в рассматриваемом выражении один раз участвуют сверху и один раз — снизу.
82
ВЕКТОРНЫЕ И ТЕНЗОРНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
[ГЛ IV
Действительно, если бы существовало второе выражение для того же самого вектора х:
* = (4)
то, вычитая (4) из (3), мы получили бы некоторую линейную г ависимость
Предыдущая << 1 .. 30 31 32 33 34 35 < 36 > 37 38 39 40 41 42 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed