Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Доказательство. Если все степени элемента 5 выражаются через ах, ат, а все степени элемента I выражаются через Ьх, ..., Ьп линейно, то все степени элементов в + /, в — I и вН линейно выражаются через ах, ат, Ьх, Ьп, ахЬх,
Щри • • • 1 птЬл.
Если предположить выполненной теорему о цепях делителей для идеалов кольца <85, то можно доказать транзитивность свойства быть целым элементом.
486
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Если 0 — кольцо целых элементов коммутативного кольца Я? (над подкольцом 31) и ^ — элемент из целый над то этот элемент / является целым и над 34 (т. е. содержится в 0). Или, иначе: если элемент ^ удовлетворяет равенству (2) с коэффициентами Гу,, целыми над 34, то сам ^ является целым над 31.
Доказательство. С помощью многократного применения равенства (2) все степени 1Н+Х элемента ^ можно выразить линейно через I, Е, ..., Е”1 с коэффициентами, которые являются либо целыми числами, либо целыми рациональными функциями ОТ произведений степеней коэффициентов Гу. Для каждого Гу существует конечное множество элементов из Ф, через которые Гу линейно выражается с коэффициентами из 31 и Ъ, следовательно, все произведения степеней элементов Гу выражаются через конечное множество произведений элементов из указанных выше конечных множеств. Умножим эти произведения, которых всего конечное число, на I, Е, ...Дл-1 и добавим к полученному множеству еще t, Е, ..., Е'1; тогда получится конечное множество элементов, через которые уже все степени элемента t линейно выражаются с коэффициентами из 31 и целочисленными коэффициентами.
Кольцо 0 называется целозамкнутым в некотором объемлющем кольце если каждый целый над 0 элемент из 5 принадлежит уже 0. В частности, целостное кольцо 0 называется просто целозамкнутым, если оно целозамкнуто в своем поле частных
2. Как легко видеть, это означает, что каждый элемент I из 2, степени Е которого выражаются как дроби с некоторым фиксированным знаменателем из 0, принадлежит кольцу 0. Действительно, конечное множество элементов, через которые могут быть выражены все степени некоторого целого числа t, может быть приведено к общему знаменателю и, обратно, если все степени элемента ^ представляются в виде дробей со знаменателем в, то они линейно выражаются через элемент в-1.
Из предыдущей теоремы следует, что в случае коммутативного кольца ^ кольцо 0 всех целых над 3} элементов из ^ является целозамкнутым в ^, если идеалы из 0 удовлетворяют теореме о цепях делителей.
Такая же теорема может быть доказана и без предположения о справедливости теоремы о цепях делителей, если считать, что кольцо 34 целозамкнуто в своем поле частных Р, а 5 является конечным расширением поля Р. Для доказательства поле ^ расширяется до некоторого расширения Галуа поля Р, а 0— до кольца 0' целых элементов поля ЗГ. Если некоторый элемент ^ является целым над 0, а потому и над 0', то таковыми будут и элементы, сопряженные с ^ над Р, а также элементарные симметрические функции этих сопряженных элементов, т. е. коэффициенты уравнения, определяющего элемент В силу
§ 136]
ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПОЛЕ
48?
целозамкнутости кольца {И эти коэффициенты принадлежат кольцу Ш, так что t оказывается целым над 3R и, следовательно, t е ©.
Одно достаточное, но не необходимое условие для целозамкнутости целостного кольца дает следующая
Теорема. Целостное кольцо с единицей, в котором имеет место теорема об однозначности разложения на простые множители, целозамкнуто в своем поле частных.
Доказательство. Каждый элемент поля частных можно представить дробью а/b, в которой а и b не имеют общих простых множителей. Тогда, если все степени дроби а/b можно освободить от знаменателей умножением на некоторый элемент с, то от", а потому и с, должны делиться на Ьп при каждом натуральном п, что, однако, возможно лишь тогда, когда b — некоторый обратимый элемент, и поэтому a/b — ab~x — элемент из данного целостного кольца.
Из этой теоремы следует, что всякое кольцо главных идеалов (в частности, кольцо целых чисел Z), всякое кольцо целочисленных многочленов и всякое кольцо многочленов над каким-либо полем К являются целозамкнутыми.
Задача I. Корни из единицы в любом поле являются целыми над любым подкольцом.
Задача 2. Какие числа из поля гауссовых чисел (Q (i) являются целыми над Z? Решить аналогичный вопрос для поля (Q (р), где р = —^
Задача 3. Если целостное кольцо Я целозамкнуто, то и кольцо многочленов Э( [х] целозамкнуто.
§ 136. Целые элементы в поле
Пусть Sft — целостное кольцо, Р — его поле частных, 2 — конечное коммутативное расширение поля Р и @ —кольцо целых над Ж элементов из 2. Очевидно, что <25 является кольцом, содержащим кольцо 3ft. Связь между кольцами 3ft, <3 и полями Р, 2 схематически можно изобразить так:
Sft Е©
П Г)
PS2.
Такие соотношения будут считаться выполненными всюду в данном параграфе. Под словом «целый» здесь постоянно подразумевается «целый над 5ft».
Примеры. Если Ш —кольцо обычных целых чисел, то Р — поле обычных рациональных чисел; поле 2 является некоторым числовым полем (конечным над Р), а @ —кольцом целых алгебраических чисел поля 2.
