Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Задача 1. Идеал (х2, х2х3-\-1) является примарным с показателем 2 и соответствующим простым идеалом (х1у х2х3-{-1).
Задача 2. Каждая степень р° неразложимого и отличного от константы многочлена р порождает (п— 1)-мерный примерный идеал. Каждый отличный от константы многочлен / порождает несмешанный (п—1)-мерный идеал.
Задача 3. Если р —-простой идеал из задачи 1 § 128, то идеал р2 не является примарным. (Многочлен (х2х3 — хр2— (х| — ххх3) (х; — А';х2) имеет множитель хъ а второй множитель не принадлежит р2.)
474
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
§ 132. Основная теорема Нётера
С помощью разложения на примарные идеалы мы решим здесь вопрос о том, каким условиям должен удовлетворять многочлен [, чтобы принадлежать нульмерному идеалу т. Предпошлем этому обсуждению одну лемму, которая полезна и в других случаях: Если 2 — расширение поля К и /, fu ..., /г — многочлены из К [л-] = К [xlt ..., х„], то из
/ = О (Д, ..., fr) в 2 И
следует, что
/ — 0 (fu ..., fr) в нм.
Доказательство. Пусть
f = ZSih, 0)
где g[ — многочлены с коэффициентами из 2. Выразим эти коэффициенты через конечное множество линейно независимых элементов 1, сог, со2, ... поля 2 с коэффициентами из К. Тогда каждое слагаемое gift в (1) приобретает следующий вид:
(glo + + g/2w2 + • • •) fit
где — многочлены с коэффициентами из К. Из (1), таким образом, следует, что
f = 2 ?iofi + W1 S ?tif < + W2 2 gi?fi + • • •
Так как элементы 1, сог, т2, ... линейно независимы, то слагаемые с 1, «], со2, ... слева и справа должны совпадать, откуда
f = X giJt,
что и требовалось доказать.
На основании этой леммы мы можем для ответа па вопрос о справедливости сравнения / = 0(/ь ..., fr) произвольно расширить основное поле К, например, присоединить к нему некоторые корни идеала (flt ..., fr). Если рассматриваемое сравнение окажется выполненным в кольце 2 [а], то оно было выполнено и до расширения поля.
Нульмерное многообразие при подходящем расширении основного поля распадается на конечное число отдельных точек; следовательно, при желании всегда можно предполагать, что все рассматриваемые нульмерные простые идеалы обладают лишь одним корнем (а не системой сопряженных точек, как обычно).
Нульмерный простой идеал у не имеет делителей, потому что в этом случае кольцо классов вычетов p/у, согласно § 129, является полем. 01 сюда следует, что каждый нульмерный примарный
§ 132]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА НЕТЕРА
475
идеал однократен, потому что примерный идеал, которому соответствует простой идеал, не обладающий делителями, является, согласно § 122, однократным. Далее, из теорем § 122 следует, что каждая нульмерная изолированная примарная компонента ч идеала т представляется в виде
Ч = (ш, рр), (2)
причем показатель р является наименьшим среди чисел а со свойством
»° = 0(т, у^1). (3)
Выясним смысл соотношения (2) в случае, когда основное поле предварительно расширено так, что все рассматриваемые однократные идеалы <] обладают лишь одним корнем а = {аъ ..., ап}. Равенство (2) утверждает, что для сравнения / = 0(д) необходимым и достаточным является сравнение
/ =з 0 (ш, рр). (4)
Пусть идеал т задается базисом (/у, ..., $г). Положим гл, = лд, — ах, тогда р = («/х, .... г/я). Если считать, что все рассматриваемые многочлены расположены по возрастающим степеням элементов г/у, то Рр состоит из всех тех многочленов, в которые входят только произведения элементов Ум общей степени ^=р. Соотношение (4) означает, таким образом, что / совпадает с некоторой линейной комбинацией '2igvfv с точностью до слагаемых степени, большей или равной р. Поэтому если умножить /у, на 1 и на все
произведения элементов Ум общих степеней <р, а затем обозначить через ки Нк многочлены, получающиеся после отбрасывания всех слагаемых степени ^р, то (4) будет означать, что / является линейной комбинацией многочленов 1гъ ..., 1гк с коэффициентами из основного поля с точностью до слагаемых степени ^р. Такое положение вещей можно фактически проверить в каждом отдельном случае (при заданных р, /у, ..., /у и /). В частности, оно имеет место тогда, когда существуют формальные степенные ряды Рх (у), ..., Рг(у)1), для которых
/ = ^1/1+ ••• +^л/г2)- (5)
Действительно, в этом случае можно для каждого значения сг оборвать степенные ряды на слагаемых степени о и получить совпадение обеих частей по модулю р°. Таким образом, признак (5) требует слишком много: достаточно, чтобы обе части в равенстве (5) совпали не полностью, а только до слагаемых степени =гр.
!) О сходимости которых, конечно, ничего не предполагается.
2) Подразумевается, что при формальном разложении по произведениям степеней переменных Ум обе части в (5) совпадают.
476
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
Точно так же можно установить выполнение или невыполнение соотношения (3) для каждого конкретного ст: оно означает, что после отбрасывания произведений степени > а все одночлены степени 'сг представляются через многочлены Таким об-
разом, при заданных /к ..., Д для каждого корня а можно последовательно испытывать значения а — 1, 2, 3, ..., пока не будет найдено такое а, для которого выполнено (3): это значение о является показателем идеала <|.
