Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же, как из ц получается ф, из идеала р получается идеал р' и вообще из каждого идеала ш = (/х, ..., ?г) — некоторый идеал т' = (/(, ..., /у).
Геометрически подстановка х1—^1, ..., ха = \а означает, что все рассматриваемые многообразия пересекаются линейным пространством хх = |х, ..., ха = \а, проходящим через общую точку многообразия идеала 4.
Если / (хх, — некоторый многочлен и / (?х, ..., ^, ха+1,...
..., хп) принадлежит идеалу ч', то, согласно сказанному выше,
= где
так что
<?(?, х) = ф©/(|, х).
Отсюда ввиду алгебраической независимости элементов |х, ... ..., \а следует, что
ц {х) = ф {х) {(х) = 0 (с|).
Из ф (У Ф 0 следует, однако, что ф (х) ф. О (ч), откуда
/(х)^О(с,).
Таким образом, чтобы выяснить, принадлежит ли некоторый многочтен 1(х) идеалу р, нужно лишь проверить, принадлежит ли идеалу я' соответствующий многочлен /'=/(?х, ..., 1а, *<т. ... ..., хп). Итак, идеал 9 однозначно определяется идеалом ч'.
& i33)
СВЕДЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ИДЕАЛОВ К НУЛЬМЕРНЫМ
479
Мы утверждаем следующее: идеал q' в кольце К (Hj, ... .... \d) [xd+1, ..., х„] примарен; соответствующий простой идеал совпадает с идеалом !р'; показатель идеала q' равен показателю идеала q; общим корнем идеала р' является j^-ц, ..., \п} и, наконец, размерность идеала р' равна нулю.
Доказательство. Чтобы показать, что идеал q' является примарным, а р' — соответствующим простым идеалом, достаточно установить следующие три свойства:
1) из /(?, x)g(l, *) = 0(q') и /(?, х)зрЁО(р') следует, чго g(E, x)^O(q');
2) из /(?, ,v') = 0 (q') следует, что /(?, *) = 0(p');
3) из /(?, А-)=0(р') следует, что /(?, A)P = 0(q').
Во всех трех свойствах можно считать fug целыми рациональными по ?ь ..., ?d потому что в случае необходимости их можно умножить на подходящий многочлен ср(?). С учетом последнего замечания можно заменить ? на переменные х, идеал q' — на идеал q, а идеал р' — на идеал р; действительно, например, /(?, x)^sO(q') эквивалентно сравнению f (х) = 0 (q) и т. д. После такой замены 1), 2) и 3) будут утверждать не что иное, как то, что q —примарный, а р — соответствующий простой идеал, а это нам уже известно. Одновременно установлено, что показатели идеалов q' и q равны.
Чтобы показать, что {?йц, ..., ?„} является общим корнем идеала р', нужно показать, что из
f(h, ? la, 1(1ч, •••? Н„)-= О,
где / — рациональная функция от ?lt ..., Erf и целая рациональная функция от Е,м, ..., Е„, следует сравнение
/а *)^о(р'),
и наоборот. Вновь можно считать, что / — целая рациональная функция от ?ь ..., Но тогда /(?, *)=0(р') эквивалентно сравнению f(x) = 0(р); следовательно, эта часть утверждения оказывается верной благодаря тому, что {?lt ..., ?„} — общий корень идеала р.
Наконец, нульмерность идеала р' следует из того, что эле-•менты Erf+1, ..., алгебраичны над К (Ех, ..., ?rf). Таким образом, все утверждения доказаны.
Тем же способом можно показать, что если с\ — примарная компонента идеала m = (/j, ..., fr), то а' —примарная компонента соответствующего идеала т' = (/[, ..., //). Если q — изолированная компонента идеала т, то и q' — изолированная компонента идеала т\
Описанный метод сведения всех примарных идеалов к нульмерным дает средство выяснения, принадлежит ли заданный многочлен / заданному идеалу in (Jy, ..., fr) в предположении,
480
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
что задано разложение идеала т на примарные компоненты:
т = [ч1( у.
Действительно, для каждой примарной компоненты q мы находим соответствующий нульмерный идеал I)', а затем расширяем поле К (?ь %а) так, чтобы 14' распадался на примарные иде-
алы (IV, обладающие единственным корнем а{у} каждый, а затем методом § 132 с помощью «нётеровых условий»
/'== 0 ((•)', *чр)> К = «д + ь хп-а(п)) (1)
выясняем, принадлежит ли многочлен /' идеалам стС = (У, )ур), а потому и идеалу 14'. Так как корни идеалов сопряжены над К (§1, ..., \а), то и сами идеалы уУ а потому и идеалы (^ сопряжены над К ($!, ..., ?</); следовательно, достаточно для каждого ()' рассмотреть лишь один qv• Таким образом, нужно присоединить лишь один корень каждого из идеалов q'. Пусть {?<*+!, ..., ?„} — один из таких корней. Вместо мы имеем, следовательно, простой идеал
1^ (*^б/+1 • • • , ^/г),
а вместо условия (1) можем взять более удобное условие
Г- 0(т', у?); (2)
действительно, условие (2) также необходимо для сравнения / = 0(т), а из (2) немедленно следует (1). Условие (2), которое должно удовлетворяться для каждой примарной компоненты q идеала ш, известно под названием критерия Генцелыпа или теоремы Генцелыпа о корнях.
В частности, если п — изолированная компонента идеала т, т. е. q' — изолированная компонента идеала ш', то можно, как это было сделано в § 122, определить показатель р из условия
ур = 0(т', *| + 1).
Из условий (1) для / = 0^) наиболее явно обнаруживается геометрический смысл примарных идеалов: принадлежность при-марному идеалу накладывает некоторые требования на начальные члены разложения многочлена / по степеням разностей ...
..., хп — \п в некоторой общей точке % алгебраического многообразия М, например, требование, что многочлен / должен обращаться в нуль в этой общей точке или что гиперповерхность / = 0 в этой общей точке должна касаться некоторой другой гиперповерхности, содержащей многообразие М, и т. д.
