Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Вот утверждение, равносильное этому (в силу предыдущей теоремы):
Если в Л каждый левый идеал обладает конечным базисом и модуль ЭЛ обладает конечным базисом над Л, то каждый подмодуль в ЭЛ имеет конечный базис над Л.
Доказательство совершенно аналогично доказательству теоремы Гильберта о базисе (§ 115). Пусть ЭЛ = (а1, ..., ап) и 91 — произвольный подмодуль в ЭЛ. Каждый элемент из 9] можно записать в виде (1). Если в выражении (1) среди 2А коэффициентов гь ..., последнее 2Л —/ (т. е. начиная с (/+1)-го и заканчивая 2/1-м) равны нулю, то мы говорим о выражении длины ^1. Рассмотрим все входящие в 91 выражения длины ^/. Коэффициенты при /-м слагаемом в них составляют, как легко видеть, некоторый левый идеал в 91 или в кольце 2 целых чисел. Этот идеал обладает конечным базисом
(Ьц Ьи{),
Каждый из Ьм является последним (/-м) коэффициентом (г( или п^л) некоторого выражения (1), которое мы обозначим через В
В^ = г1а1 + ...-\-Ь^а1 или В1у = ... + Ь^а^н.
484
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Мы утверждаем теперь, что все выражения В^(1= 1, 2к;
V = 1, Я/) составляют базис в 9?. Действительно, каждый эле-
мент (1) из 9? длины / может быть освобожден от I-го коэффициента с помощью вычитания некоторой линейной комбинации элементов Вп, ..., Ви (с коэффициентами из Ш или Ъ — в зависимости от значения I), т. е. данное выражение (1) можно свести к выражению меньшей длины. Тем же способом полученное выражение можно изменить и еще уменьшить длину; продолжая таким образом, мы в конце концов придем к нулю. Значит, каждый элемент из 9? может быть представлен в виде линейной комбинации элементов В{х, что и требовалось доказать. Если один из идеалов (Ь1Ъ ..., Ьиокажется равным нулю, то соответствующие элементы В1ч не надо включать в базис.
§ 135. Элементы, целые над кольцом
Пусть 91 — подкольцо кольца
Элемент I из ^ называется целым над 31, если все степени *) t принадлежат конечному 91-модулю вида (сц, ..., ат) или если все степени / линейно выражаются через конечное множество элементов аи ..., ат кольца в виде
1р = гхах +... г тат + пхах птат
(гу е 34, «у —целые числа). (1)
В частности, каждый элемент г из Я является целым над 9!, так как г, г2, г3, ... принадлежат 91-модулю (г). Конечно, и единичный элемент из если он существует, является целым над 91.
Если $ — поле, которое, следовательно, содержит поле частных Р кольца 91, то степени любого целого элемента I линейно зависят от конечного множества величин ах, ат с коэффициентами из Р, потому что Р содержит не только кольцо 91, но и единицу. Тем самым среди степеней элемента / есть лишь конечное множество линейно независимых над Р; поэтому элемент ^ является алгебраическим над Р, и вместо «целый элемент» часто говорят «целый алгебраический элемент».
Если 91 — кольцо, в котором имеет место теорема о цепях делителей для левых идеалов, то, согласно § 134, она имеет место и в подмодулях конечного 91-модуля {ах, ..., ат). В частности, цепь модулей
(0<=(*, *г)Е...
стабилизируется и, значит, некоторая степень элемента < линейно
*) Под степенями в этом параграфе подразумеваются только системы с положительными показателями,
§ 135]
ЭЛЕМЕНТЫ. ЦЕЛЫЕ НАД КОЛЬЦОМ
485
выражается через более низкие степени:
гл = /-1г + ... + гл_1^1 + п1г + ... + «л ^л-1. (2)
Обратно, если I — элемент из который при выбранном подходящим образом числе Н представляется в виде (2) с коэффициентами из ЭД, соответственно из 2, то с помощью (2) можно и более высокие степени элемента I выразить через конечное множество элементов 1г, ^/1~1 и тем самым установить,
что в соответствии с нашим определением элемент I является целым. Мы доказали следующее предложение:
Если в кольце 94 имеет место теорема о цепях делителей для левых идеалов, то для того, чтобы элемент I был целым над необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство вида (2).
Если $ — поле, то равенство (2) доставляет новое выражение того факта, что t алгебраичен над полем Р. Если в Ш есть единица, то к множеству степеней элемента ^ можно добавить и 1° — \, а в равенстве (2) удалить, группу слагаемых + -ф-пл_1^л_1. Вместо (2), таким образом, получается более простое равенство:
гЛ-гЛ_1*Л-1= О,
характерной особенностью которого является то, что коэффициент при высшей степени элемента I равен единице.
Примеры. Целые алгебраические числа — это алгебраические числа, являющиеся целыми над кольцом 2 обычных целых чисел, т. е. удовлетворяющие некоторому целочисленному уравнению со старшим коэффициентом 1. Целые алгебраические функции от хх, ...
..., хп — это функции из некоторого алгебраического расширения поля Н (л:!, ..., хп), которые являются целыми надкольцом многочленов К \хх, ..., х„]; при этом К является заранее фиксированным основным полем. Абсолютно целые алгебраические функции от хх, ..., хп — это функции, которые являются целыми над кольцом целочисленных многочленов 2 [хх. . . ., Х„].
В любом кольце $ сумма, разность и произведение двух целых над 9Я элементов являются целыми. Иначе говоря, целые над Ш элементы из Яь составляют некоторое кольцо <25. •
