Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Эта теорема, играющая важную роль в алгебраической геометрии, принадлежит Мертенсу (Mertens F.) — Sitzungsber. Wiener Akad., 108, S. 1174. Другое ее доказательство дал К а п-ферер (Kapferer H.)— Sitzungsber. Bayer. Akad. M?nchen, 1929, S. 179.
Система форм Rlt ..., Rm с описанным выше свойством называется системой результантов форм Fu ..., Fr. Если формы F, являются линейными, то «-строчные определители, составленные из всевозможных наборов по п из г данных форм, составляют систему результантов. Для форм Flt F2 от двух переменных хи х2 обычный результант R является системой результантов. Точно так же в общем случае, когда даны п форм от п переменных, система результантов состоит из единственного результанта R. См. по этому поводу Гурвиц (Hurwitz A.). ?ber Tr?gheitsformen.—Ann. di Mat. (3), 1913, 20.
§ 131. Примарные идеалы
Основная задача теории идеалов в кольцах многочленов состоит в том, чтобы установить, принадлежит ли многочлен f заданному идеалу
m = (fl fr)-
Под словом «установить» здесь имеется в виду не фактическая проверка в конечное число шагов, хотя таковая всегда возможна *), а метод проверки, который одновременно выяснял бы строение идеала и выявлял геометрическое соотношение между корнями и его элементами /. Один из таких методов был впервые предложен
9 См. Кёниг (K?nig J.). Einleitung in die allgemeine Theorie der algebraischen Gr??en. — Leipzig, 1903, а также Горман (Hermann G.). Die Frage der endlich vielen Schritte in der Theorie der Polynomideale. — Math Ann-, 95, S. 736-788.
472
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[ГЛ XVI
Ласкером1), рассмотревшим разложение идеалов на примарные компоненты.
Основная идея метода Ласкера состоит в следующем: согласно теореме о разложении из § 118 каждый идеал т представим в виде пересечения примарных идеалов:
т = [<ь, чД.
Следовательно, для того чтобы многочлен / принадлежал идеалу т, необходимо и достаточно, чтобы / принадлежал всем примар-ным идеалам Ч\- Таким образом, для принципиального решения поставленной выше задачи нужно лишь определить условия, при которых многочлен принадлежит примарному идеалу.
Согласно § 117 каждому примарному идеалу ч соответствуют простой идеал р и показатель р со следующими свойствами:
1) ^ 0 (о) = 0(0;
2) ИЗ /? = 0(ч) И /^О(р) следует, ЧТО ?-=0(ч).
В случае ч Ф о простой идеал р соответствует, в свою очередь, некоторому неприводимому многообразию М. В силу 1) все корпи идеала ч являются одновременно корнями идеала р и наоборот. Следовательно, многообразие примарного идеала ч Ф с неприводимо и равно многообразию соответствующего простого идеала.
Пусть ^ — примарный идеал относительно простого идеала р показателя р и М — многообразие этого идеала. Если / — некоторый многочлен, содержащий многообразие М, то / = 0 (р) и, следовательно, /° = 0(ч). Но если / не содержит М, то в соответствии со свойством 2), сформулированным выше, в каждом сравнении по модулю ч можно сокращать на /. Таким образом, у нас есть уже два важных средства, часто позволяющих обнаружить справедливость сравнения /р==0(ч) или соответственно ? = 0(ч). С помощью теоремы о разложении они сразу переносятся на произвольные идеалы т = [Ч], ..., ч.Д- Действительно, если / — многочлен, содержащий многообразие М идеала ш, и если р — наибольший из показателей примарных идеалов Чл Ч-л то
/р = 0 (ч,-) для /= 1, ..., в,
откуда
/р = 0 (т).
Тем самым заново доказана теорема Гильберта о корня х (§ 130), причем дополнительно замечено, что показатель р зависит только от идеала ш.
Далее, если / — многочлен, который не содержит ни одного из многообразий примарных идеалов Чъ •••, Ч,?, то в каждом
') Lasker E. Zur Theorie der Moduln und Ideale.—Math. Ann., 1905, 60, S. 20-116,
§ 131]
Примарные идеалы
4?3
сравнении
fg = 0(т) можно сократить на / и получить
? = 0(т),
поскольку соответствующее сравнение имеет место для всех примерных идеалов 1]у. Кратко и ярко это можно выразить так:
ш : (/) = ы;
согласно § 119 это равенство имеет место тогда и только тогда, когда / не делится ни на один из простых идеалов ^ ..., соответствующих идеалу т (и, таким образом, не содержит ни одного из соответствующих многообразий).
Согласно § 119 для произвольного идеала а имеет место несколько более общее утверждение: равенство
т:а = ш (1)
выполняется тогда и только тогда, когда а не делится ни на один из идеалов р1; ..., ^ или, что то же самое, когда многообразие идеала а не содержит ни одного из многообразий простых идеалов рх, ..., Эта теорема часто оказывается полезной при отыскании простых идеалов у'х, ..., соответствующих заданному идеалу т. Именно, чтобы установить, совпадает ли некоторый простой идеал р с одним из простых идеалов ру, берут произвольный идеал а, делящийся на р, например, а = р, и смотрят, выполняется соотношение (1) или нет, т. е. выясняют, следует ли ?=0(т) из ?а = 0(т). Если (1) имеет место, то р не совпадает ни с одним из ру.
Под размерностью примарного идеала подразумевается размерность соответствующего простого идеала (и многообразия). Под размерностью или наивысшей размерностью произвольного идеала с Ф о подразумевается наибольшая из размерностей при-марных компонент (или соответствующих простых идеалов). Если размерности всех примарных идеалов, соответствующих данному идеалу а, равны одному и тому же числу й, то идеал а назы-сается несмешанным идеалом размерности й.
