Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
В случае нульмерного идеала т все примарные компоненты нульмерны и изолированы; следовательно, описанный выше признак МОЖНО применить КО всем ЭТИМ компонентам при / ^0((]). Если он выполнен для всех корней, то / = 0(т). Тем самым установлена следующая теорема:
Пусть для каждого корня а = {аъ ..., ап} некоторого нульмерного изолированного идеала ш показатель р определен как наименьшее из натуральных чисел ст, для которых выполняется (3) при р = (*1 — аъ ..., хп — ап)\ если многочлен $ удовлетворяет условию (4) при всех р, то /: = 0(т).
Для случая т = (/х, /2), где /у и /2 — многочлены от двух переменных, эта теорема была впервые доказана Максом Нёте-ром1): то была знаменитая «основная теорема Нётера», которая заложила основу «геометрического направления» в теории алгебраических функций. Впрочем, вместо более слабого соотношения (4) Нётер предполагал выполненным условие (5) о степенных рядах для всех корней. Предложенный здесь вариант, при котором требуется совпадение слагаемых лишь до степени р — 1 по совокупности переменных уъ ..., уп, восходит к Бертини2), который, кроме того, предложил границу для возможных значений показателя р3). Обобщение на «-мерный случай принадлежит Ласкеру и Маколею. Условие ! = 0 (т, рр), достаточное для / = 0(1]), мы называем, следуя Маколею, н'ёте-ровым условием в точке а.
Чтобы объяснить способы применения теоремы Нётера, обратимся к одному частному случаю, когда нётеровы условия оказываются особенно простыми.
Каждый из многочленов /х, ..., /у определяет некоторое алгебраическое многообразие (гиперповерхность) Д, = 0 в «-мерном пространстве. Равным образом многочлен / определяет гиперповерхность / = 0. Если / разлагается на неразложимые множи-
1) Noether М. ?ber einen Satz aus der Theorie der algebraischen Funktionen.—Math. Ann., 1873, 6, S. 351—359.
2) Bertini E. Zum Fundamentalsatz aus der Theorie der algebraischen Funktionen.— Math. Ann., 1889, 34, S. 447 —449.
3) Более точные границы дает Дюбрей (Dubreil P.). Th?se de Doctorat. — Paris, 1930,
§ 132]
ОСНОВНАЯ ТЕОРЕМА НЁТЕРА
477
тели / = рР‘рР2.то и многообразие / = 0 распадается на неприводимые части Рх = 0, р2 = 0, ..., каждую из которых мы должны считать столько раз, каков показатель степени соответствующего множителя в разложении многочлена /.
Если многочлен f разложен в точке а по степеням у^ = ху — а^ и разложение начинается со слагаемых я-го порядка (5 ^ 0):
/ = со*/1 + С1У\ + • • • + с<лУп + • • •,
то говорят, что гиперповерхность / = 0 имеет в а з-кратную точку1). Сумма членов в-го порядка, приравненная нулю, сама по себе дает некоторую гиперповерхность с0у* + ... 4-сау$п = 0, состоящую из «прямых линий», проходящих через точку а; эту гиперповерхность называют касательным конусом к гиперповерхности / = 0 в точке а.
Простейшим случаем теоремы Нётера является тот, когда среди гиперповерхностей А==0> ..., //- = 0, определяющих нульмерный идеал т, существуют такие /1 = 0, ..., /„ = 0, которые все имеют в а простую точку и касательные гиперплоскости к которым в а имеют общей только точку а\
f1 = С\\У\ + • • • + С1 пУп + ? ? • ,
/2 = сг\У\ + • • • + с2 пУп + • • •.
fn — О/11У1 -+-•••+ сппУп ?+"•••>
п
линейные формы 2 линейно независимы.
|0,= 1
Если в этом случае обозначить простой идеал (хх — аь ... ..., хп — ап) через р, то среди линейных комбинаций многочленов Д, ..., /„ по модулю р2 имеются сами переменные уъ ..., уп, т. е.
(г/i, .... уп) == 0((/,, fn), р2),
и поэтому
р = 0 (m, Р2).
Отсюда следует, что идеал m имеет в точке а изолированную примарную компоненту q показателя 1, т. е. q = p. Каждый многочлен, обращающийся в нуль в а, делится, таким образом, на q.
По поводу дальнейших частных случаев и применений теоремы Нётера можно адресовать читателя к моей книге «Einf?hrung in die algebraische Geometrie».
1) Или что точка а является s-кратной, — Прим. перев.
478
ТЕОРИЯ ИДЕАЛОВ В КОЛЬЦАХ МНОГОЧЛЕНОВ
[Г Л XVI
§ 133. Сведение многомерных идеалов к нульмерным
В этом параграфе мы распространим теоремы, доказанные в § 132 для нульмерных идеалов, на многомерные идеалы.
Метод состоит в следующем: если I] — примарный идеал в кольце км размерности с1, р — соответствующий простой идеал, общим корнем которого является {?х, ..., ?я}, и если, например, ?х, ...
..., \а алгебраически независимы, то с помощью подстановки хх — \х, ..., хл = \а мы превращаем идеалы ц и |) в нульмерные. Осуществим эту подстановку во всех многочленах ц идеала при этом многочлены <7 перейдут в многочлены ф из кольца К (?1, ..., У [^ц, ..., хп] и составят там некоторый идеал ф. Очевидно, что подстановку хх = ?1, • • •, ха = \а достаточно произвести в базисных многочленах <7Х, ..., ду; тогда полученные многочлены <7ь ..., q'r будут порождать идеал ф:
11' = (?;, ..., ф).
Ясно, что идеал ф состоит из многочленов ф, деленных на произвольные отличные от нуля многочлены ф от переменных ?х, ... ..., 1а, потому что многочлены ф составляют в К [?х, ..., \а, хап, ..., хп] некоторый идеал, и чтобы получить порождаемый им идеал в К (?1, ..., 1а) М+1. • • • > х„], как раз и нужно упомянутым многочленам приписать знаменатели ф.
