Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 191

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 185 186 187 188 189 190 < 191 > 192 193 194 195 196 197 .. 247 >> Следующая

488
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
Если 91 — кольцо многочленов: 91 = К [хь х„], то Р — поле рациональных функций; в этом случае 2 получается присоединением конечного множества алгебраических функций, а 0 оказывается составленным из целых алгебраических функций поля 2.
Наша цель состоит в изучении теории идеалов в кольце 0. Как мы знаем, для этого в первую очередь нужно выяснить, справедлива ли в 0 теорема о цепях делителей для идеалов. Точнее, нужно выяснить, переносится ли на 0 теорема о цепях делителей при условии, что она выполнена в 91. В соответствии с теоремами из § 134 это возможно, если существует базис для 0 как для 91-модуля. Этим рассуждением определяется наша ближайшая цель.
Прежде всего, одна подготовительная
Теорема. Если а —некоторый элемент поля 2, то о = э/г, где э е 0, ге 91.
Доказательство. Элемент а удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из Р. Эти коэффициенты являются дробями, числители и знаменатели которых принадлежат кольцу 91. С помощью умножения на произведение всех этих знаменателей упомянутые дроби становятся элементами из 91 и получается уравнение
г0от + гхът1 +... + гт = 0.
Положим г0 = г и умножим это на гт1\
(го)т + гх (го)”1-1 + г2г (го)т 2 +... + гтгт1 = 0.
Следовательно, га —целый элемент над 91. Положим га —в и тем самым получим требуемое.
Из этой теоремы следует, что 2 — поле частных кольца 0.
Если некоторый элемент ? является целым над основным кольцом, то и все сопряженные с ним элементы (е некотором расширении Галуа поля Р, содержащем 2) являются целыми.
Доказательство. Конечное множество элементов из 2, через которые по условию линейно выражаются все степени элемента при любом изоморфизме поля 2 переходит снова в конечное множество элементов, через которые линейно выражаются все степени того или иного сопряженного с | элемента.
Суммы и произведения целых элементов снова являются целыми; поэтому являются целыми и элементарные симметрические функции от | и сопряженных с ним элементов. Мы получили следующее предложение:
Если в некотором неразложимом над полем Р уравнении, которому удовлетворяет целый элемент старший коэффициент равен единице, то и все остальные коэффициенты этого уравнения
§ 136)
ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПОЛЕ
489
являются целыми над 31. В частности, если кольцо 9? целозамкнуто в Р, то все эти коэффициенты принадлежат Ш.
В случае целозамкнутого кольца ?Я это предложение дает удобное средство для выяснения, является ли тот или иной элемент | целым: для этого не нужно строить все уравнения, которым удовлетворяет I, и среди них отыскивать уравнения с целыми коэффициентами, а достаточно найти неразложимое уравнение для | со старшим коэффициентом 1. Если все его коэффициенты целые, ТО И ? ~ целый элемент, если же не все коэффициенты целые, то и | не является целым.
Сделаем теперь три следующих предположения:
I. Кольцо Я целозамкнуто в своем поле частных Р.
II. В кольце 31 имеет место теорема о цепях делителей для идеалов.
III. Поле 2 является сепарабельным расширением поля Р. Из III, в соответствии с § 46, следует, что поле 2 порождается некоторым «примитивным элементом» о: 2=Р(ст). Согласно последней теореме о = в/г (г<ее@, г е Я); следовательно, это поле порождается и целым элементом х. Элемент я удовлетворяет некоторому уравнению п-й степени, где п —степень расширения 2/Р. Каждый элемент ? из 2 можно представить в виде
6=2] р*5* (Р*еР). (1)
о
Если в (1) заменить 5 на сопряженные с ним элементы (в каком-либо расширении Галуа поля 2, содержащем Р), каковых, согласно § 44, существует ровно п, то для элементов |у, сопряженных с ?, получатся равенства
П— 1
6у = 2]р*^ (V = 1, 2, .... п). (2)
О
Определитель этой системы уравнений равен *)
я = |«?|= П &-$*)•
Х< ц
Квадрат этого определителя является симметрической функцией от а потому содержится в Р. Так как сопряженные элементы
все различны, ИфО. Следовательно, систему уравнений (2) можно решить:
1) См. задачу 2 из § 28. — Прим. ред.
490
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ. XVII
где Зку и О —многочлены от т. е. элементы, целые над 91. Умножение этого равенства на О2 дает
В2рк = 2 (3)
V
Если теперь предположить, что \ является элементом ИЗ 0, т. е. целым элементом, то окажется, что элементы Ну, а с ними и левая часть в (3) целые. Вместе с тем левая часть является элементом из Р. Так как кольцо ЭЯ целозамкнуто в Р, то элемент И2рк принадлежит ЭЯ. Положим 02рк = гк\ тогда рк = гкО~2 и, согласно (1),
н= 2 г*?Н>5‘.
о
Следовательно, каждое ? из 0 может быть линейно выражено через ?>~2з°, О V, .О V 1 с коэффициентами из 91. Другими словами, кольцо 0 содержится в конечном 91-модуле:
ЭД = {1УН\ .....?> V-1).
Отсюда, согласно теоремам из § 134, следует, что 0, как и всякий подмодуль в & и, в частности, всякий идеал в 0, обладает конечным базисом над 91 как модуль, или, что то же самое, для 91-модулей и, в частности, для идеалов в 0, выполняется теорема о цепях делителей. Если, например, ЗЯ —кольцо главных идеалов, то даже 0 и каждый подмодуль в 0 обладают линейно независимыми базисами как модули над 91.
Предыдущая << 1 .. 185 186 187 188 189 190 < 191 > 192 193 194 195 196 197 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed