Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Значение алгебраически замкнутого расширения данного поля состоит в том, что с точностью до эквивалентности оно содержит все возможные алгебраические расширения этого поля. Точнее:
Если ?2 — алгебраически замкнутое алгебраическое расширение поля Р и 2 — произвольное алгебраическое расширение поля Р, то внутри ?2 существует расширение 20, эквивалентное расширению 2.
Доказательство. Продолжим 2 до некоторого алгебраически замкнутого алгебраического расширения ?2'. Оно будет алгебраическим и над Р, а потому эквивалентным расширению ?2. При каком-то изоморфизме, переводящем ?2' в ?2 и сохраняющем неподвижным каждый элемент из Р, поле 2 переходит в некоторое эквивалентное ему подполе 20 в ?2.
Задача. Доказать существование и единственность расширения поля Р, которое получается присоединением всех корней заданного множества многочленов из Р [х].
Замечание. Вместо трансфинитной индукции в таком доказательстве, как приведенное в этом параграфе, можно использовать лемму Цорна. См. Цорн (Zorn М.). — Bull. Amer. Math. Soc., 1935, 41, p. 667.
§ 73. Простые трансцендентные расширения
Каждое нростое трансцендентное расширение поля А, как мы знаем, эквивалентно полю частных А (х) кольца многочленов А [х]. Поэтому мы изучим это поле частных
?2 = А (х).
Элементами поля ?2 служат рациональные функции
Это представление можно считать несократимым (/ и g взаимно просты). Наибольшая из степеней многочленов /(х) и g (х) называется степенью функции т].
Теорема. Каждый отличный от константы элемент т] степени п трансцендентен над А и поле А (х) — алгебраическое расширение поля А (г]) степени п.
Доказательство. Представление Ц = [ (х)/^ (х) будем считать несократимым. Тогда элемент х удовлетворяет уравнению
?(*)-т1-/(*)=0
с коэффициентами из А(т]). Эти коэффициенты не могут быть все равны нулю. Действительно, если бы все они равнялись нулю и ак был бы при той же степени х любым ненулевым коэффициен-
ПРОСТЫЕ ТРАНСЦЕНДЕНТНЫЕ РАСШИРЕНИЯ
251
том многочлена g(x), а Ьк — ненулевым коэффициентом многочлена / (х), то должно было бы иметь место равенство
акЦ~Ьк = 0,
откуда г) = 6а/йл = сопз1, что противоречит предположению. Следовательно, элемент х алгебраичен над А (г)).
Если бы элемент г) был алгебраическим над А, то и л: был бы алгебраическим над А, что, однако, не так. Следовательно, элемент т) трансцендентен над А.
Элемент х является корнем многочлена степени п
g{z)ц-f(z)
в кольце А (т]) (г). Этот многочлен неразложим в А (р) [г], потому что иначе он был бы разложим и в кольце А [т), г], и, так как он линеен по г), один из множителей должен был бы зависеть не от 1], а лишь от г. Ыо такого множителя не может быть, потому что g(z) и /(г) взаимно просты.
Следовательно, элемент л: является алгебраическим степени п над полем А (г)). Отсюда следует утверждение о том, что (А (х): : Д(г))) = л.
Для дальнейшего отметим, что многочлен
g{z)l)-f(z)
не имеет множителей, зависящих только от 2 (т. е. лежащих в А [г]). Это утверждение остается верным, когда ц заменяется своим значением }(х)^(х) и умножается на знаменатель g(x)^, тем самым многочлен
g(z)[(x)-f(z)g( х)
кольца А [х, г] не имеет множителей, зависящих только от г.
Из доказанной теоремы вытекают три следствия.
1. Степень функции {х)^ (х) зависит лишь от полей А (т]) и А (х), а не от того или иного выбора порождающего элемента х.
2. Равенство А (т]) = А (х) имеет место тогда и только тогда, когда 1] имеет степень 1, т. е. является дробно-линейной функцией. Это означает: порождающим элементом поля, кроме элемента х, может служить любая дробно-линейная функция от х и только татя функция.
3. Любой автоморфизм поля А (х), оставляющий на месте каждый элемент поля А, должен переводить элемент х в какой-либо порождающий элемент поля. Обратно, если х переводится
и ах-\-Ь ,
в какои-либо порождающий элемент х = сх^ и каждая функция ф (х) — в функцию ф (х,), то получается автоморфизм, при котором все элементы из А остаются на месте. Следовательно,
252
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
Все автоморфизмы поля А (х) над полем А являются дробнолинейными подстановками
х = а-~, ай — ЬсфО. сх-\-с1’ '
Важной для некоторых геометрических исследований является Теорема Люрота. Каждое промежуточное поле 2, для которого А се 2 ? А (х), является простым трансцендентным расширением: 2=Д(0).
Доказательство. Элемент х должен быть алгебраическим над 2, потому что если ті — любой элемент из 2, не принадлежащий полю А, то, как было показано, элемент х является алгебраическим над Д(т|) и тем более алгебраическим над 2. Пусть неразложимый в кольце многочленов 2 [г] многочлен со старшим коэффициентом 1 и корнем х имеет вид
ї0(г) = гя + аігп-1 + ... + ая. (1)
Выясним строение этого многочлена.
Элементы а{ являются рациональными функциями от х. С помощью умножения на общий знаменатель их можно сделать целыми рациональными функциями и, кроме того, получить многочлен относительно х с содержанием 1 (ср. § 30):
/ (х, г) = Ь0 (х) г" + Ьг (х) г”-1 + ... + Ьп(х).
Степень этого многочлена по х обозначим через т, а по г — через п.
