Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
§ 76. Дифференцирование алгебраических функций
Введенное в § 27 определение производной многочлена /(х) без каких-либо дополнений переносится на рациональные функции одной переменной
с коэффициентами из поля Р. Действительно, составим выражение
гп(г I щ тМ !(х + ^8(х)-!(х)м(х + Ь)_ ф {Х + П) ф(х)— ?(*)?(* +Л)
1) Эта теорема справедлива и для бесконечных степеней трансцендентности, но для этого надо ввести понятие сложения бесконечных мощностей, о котором мы не говорили,
260 БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ [ГЛ. X
тогда числитель этой дроби обращается в нуль при h = 0; следовательно, у него есть множитель h. Разделим обе части на h\ получится
ф (x + h) — ф (х) q (х, И) .
h g (х) g (x+h.) ' ( >
Правая часть является рациональной функцией по h, которая при h = 0 принимает вполне определенное значение, так как знаменатель при h — 0 не обращается в нуль. Это значение рациональной функции мы называем дифференциальным отношением или производной ф' (х) рациональной функции ф (х):
(2)
Чтобы фактически вычислить q (х, 0), разложим числитель правой части в (1) по возрастающим степеням h, разделим на h и положим h = 0; тогда
Я (*. 0) = /' (х) g(x)-f (х) g' (х);
при подстановке этого выражения в (2) получается известная формула для производной частного:
d_ = /' (x)g{x)-f(x)g' (х) dxg(x) g(x) 2
Пусть /?(«], ..., un) — произвольная рациональная функция; пусть R\, ..., R'n — ee частные производные по переменным щ, ип и пусть ф}, ..., фл — рациональные функции от х.
Выведем формулу для полной производной:
П
-^?R(Ф1, .... фл) = 2^(ф1. •••> Ф") 5г- (3)
1
Для этой цели в соответствии с определением производной положим
фг {х + h) — фv (х) = h\1ч, (х, К), (х, 0) = ф; (х),
и
R {и± -f- /ii, ..., ип -f- h„) R (Ui, ..., пл) —
П
= • • • 9 tiy “f* hXl Wy+x* • • ?» иn) “*
v = 1
(Ux “f" /lx» • * • » ttyj ^v+1» * ? •» ^п)} “
n
= 2 hvSv hi, uXJ /iVJ wv+x» • Un)i (4)
V = 1
где
Sv (^1> • • •» Uvt 0, Wy-i-x» • * *> ^n) “ {Цъ * • • » ^л)*
§ 76] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 261
Положим в тождестве (4)
«V = <Pv М> К = фv (х -f- ft) — Фv (х) = Hv (х> h)
и разделим полученное выражение на ft:
fl(q>i(x + ft) ф„(^ + Л)) —/?(фг(х)...........у„(х)) _
h
П
= S Ф*(*> h) Sv (ф! -f- ft% фу, ftx|xv, ф^, .... ф„).
v — 1
Положим справа h — 0; тогда
Я (фх, .... Фл) = 2 ф'’ W ^ (фх, .... фл),
А
dx ‘
чем и доказывается (3).
Попытаемся распространить теорию дифференцирования на алгебраические функции одной переменной х. Под алгебраической функцией одной переменной х мы понимаем произвольный элемент т] алгебраического расширения поля Р (х).
Мы будем считать, что элемент г| сепарабелен над Р (х). Таким образом, алгебраическая функция ц является корнем некоторого неразложимого над Р (х) сепарабельного многочлена Р{х, У)-
F(x, л) = 0.
Производные многочлена F (х, у) по х и у обозначим соответственно через F'x и Fy. В силу сепарабельности многочлен F'y (х, у) не имеет общих корней с F (х, у)\ следовательно,
Ру (х> л) Ф 0.
Для разумного определения производной dr\/dx нужно потребовать, чтобы многочлен F (х, у) удовлетворял формуле полной производной
Р'х(х, ц) + 2F'y(x> ^ = 0-
Положим по определению
dr\ _ Fx(x, 1])
dx F'y(x- Ч)’
Сразу усматривается, что это определение не зависит от выбора многочлена F (х, у), потому что если F (х, у) заменить на Р (х> У) ? Ф (х), где ф (х) — произвольная рациональная функция от х, то F’x (х, г]) и Fy (х, г]) в (5) заменятся на
Р'Лх, л) Ф(*)+^(*> л)'Ф'И=^Им Л) Ф(*)
262 БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ [ГЛ X
и на
F'y{x, 'ПДФМ,
что не изменит соотношения (5).
В частности, если г\—с — константа из Р, то х не входит
dc
в уравнение, определяющее элемент Г), поэтому ^ = 0.
Пусть ? — произвольный элемент поля Р (х, г]), т. е. некоторая рациональная функция от х и т), целая рациональная по тр
? = ф(*, Т|).
Для этой функции мы докажем следующую формулу полной производной:
% = ч'х(х, ч) + ц'у{х, T])jjj, (6)
где ф* и фу — производные ОТ ф (X, у) ПО X и по у. С этой целью составим уравнение, определяющее ?, которое можно считать целым рациональным по х и ?:
G(x, 0 = 0;
подставим в него выражение ф(я, т]) для ? и затем заменим г]
на переменную у. Полученный многочлен от у имеет корнем г] и
потому делится на F (х, у):
G(x, ф (х, у)) = Q (х, у)F (х, у).
Если продифференцировать это тождество ПО X и у с помощью формулы полной производной (3), то получится
G'xix, Ф (х, у)) + G' (х, ф (х, у)) (р'х (х, у) = QF'x + Q'XF (х, у), )
G'z{x, ф(дг, у)) ц>у (х, y) = QF'y + Q'yF(x, у). J
Заменим теперь у опять на т|, благодаря чему члены с F (х, у) обратятся в нуль; в соответствии с определением (5), далее,
F'x{x, 4) = -F'y(x, r])g,
Gx(x, Q = -G',(x, ?)§.
Отсюда получается, что
-Gz(x, t,)^ + G'z(x, Qy’x{x, т]) = Q (х, г])F’y(x, rj)^,
G'z (x, ?)фy(x, г]) = Q(x, r\)F’y(x, ц).
Умножим второе равенство на прибавим к первому, и раз-
§ 76] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ 263
делим полученное равенство на Сг\ получим
~Іс+Ч>*(Х' Т1> + (Р’у(х> =
что и доказывает (6).
После того как с помощью проведенного вычисления установлен частный случай (6), не представляет труда доказательство общей формулы полной производной. Соответствующее правило таково: если %, т\п — сепарабельные алгебраические функции от х из некоторого поля и Я(иъ ип) — многочлен с производ-
