Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ными Яу, то
йЖч. ч»>-=2^(4!..................................(7)
1
Доказательство. Пусть 6 — примитивный элемент сепарабельного расширения Р (л:, ?%, г[п) поля Р(л:). Тогда все г|у являются рациональными функциями от х и 6:
щ, = фДх, 0).
Согласно (6), если ф^ и — производные от фу (х, по х и по то
= Ф\>.ї (*, 0) + Ф*(*, В)~, и, равным образом, если Я'х и Яг — производные функции Я(Фі(*. 0. •••. Фп(х, 0),
то
й#СПі. •••, ти)=^#(фі(*. 6), .... Фп(х, 0)) =
— Ях{х, В)-\-Я’г(Х, 0)^.
Но в силу (3)
П
(%і 0 = 21 (фі 0» • • *» фл 0) фгл (•*•» о»
1
п
0 = 2 ^ (фі (*, 0» • ••> фп(х, 0;
і
следовательно,
йЖль •••, л») =
п
= 2^(ф1(*. 0).........Ф»(*. 0)){фСИ*, Є) + Ф*(*. 0)-Э-
і
е=2^(т|1.......
і
264
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
Вот важнейшие частные случаи общей формулы (7):
— (п 4- ?) = ^ -р. . (8)
1 = г, % + *) Г-<1х 1 <1х ^ <1х (9)
ах ? ?2 \ Ах Лх) ’ (10)
<1 г . _^ = пг 1^- (П)
Определение производных (5) применимо, конечно, не только тогда, когда х — переменная, но и тогда, когда х —любой трансцендентный относительно Р элемент, а т] — алгебраический сепарабельный элемент над Р(х). В этом случае элемент х предпочтительнее обозначать через Таким образом, в любом поле степени трансцендентности 1 над Р все элементы г), сепарабельные над Р (?), можно дифференцировать по трансцендентному элементу Если г) и ? алгебраически зависят от ?, то поле Р (?, г), С)
имеет степень трансцендентности 1 над Р. Если теперь т] транс-
цендентен над Р, то ? алгебраически зависит от тр Предположим, что 5 сепарабелен над Р (т]); тогда можно построить й?/с(тр Если
6(41, ?) = 0 (12)
— определяющее уравнение элемента ? над Р (т]) и если Су и Сг — частные производные многочлена С (у, г), то
о; (л, 9 +сил. 9^ = о. (13)
С другой стороны, если продифференцировать (12) по ?, то в соответствии с формулой полной производной получится равенство
СИЛ, ?)|г + СИл, Е)§ = 0. (14)
Если (13) умножить на щ и вычесть из (14), то получится
формула производной сложной функции
§ = ?•§• (15)
<11 <1г\ <Х\ ' >
В частности, при ? = ? она дает
^.^3 = 1 (16)
*1 <11 ^ '
Таким образом, мы получили чисто алгебраически, не прибегая к понятию предела, все обычные правила дифференциального исчисления для алгебраических функций одной переменной.
Глава одиннадцатая
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
При изучении полей алгебраических чисел важны некоторые неалгебраические свойства чисел, например, абсолютное значение \а\, вещественность, положительность. То, что эти свойства определяются с помощью алгебраических операций + и ? не однозначно, может быть показано на следующем примере.
Пусть (Е) — поле рациональных чисел и хш — некоторый вещественный и, значит, ш —чисто мнимый корень уравнения х4 = 2. При изоморфизме
(Е1 (ш) ^ (Е! (ш)
сохраняются все алгебраические свойства, но этот изоморфизм переводит вещественное число т в чисто мнимое число ш, положительное число хи2 = уг2 —в отрицательное число (ш)2 = = _]/2, в то время как число 1+]^2 с модулем, большим 1, переводится в число 1 — У2 с модулем, меньшим 1.
Однако в ходе дальнейшего исследования мы увидим, что этим неалгебраическим свойствам присущи некоторые алгебраические черты, а именно: в поле алгебраических чисел (т. е. в алгебраически замкнутом алгебраическом расширении поля СЕ)) можно выделить не одно подполе, а целое семейство подполей, каждое из которых алгебраически эквивалентно полю вещественных алгебраических чисел, и это семейство можно охарактеризовать алгебраическими свойствами. При определенном выборе такого поля, элементы которого можно определить как «вещественные», модули и положительность вводятся чисто алгебраически.
Но прежде чем перейти к этой алгебраической теории, напомним обычное в анализе введение вещественных и комплексных чисел; мы сделаем это не по причинам логической необходимости, а для того, чтобы была яснее соответствующая задача чисто алгебраической теории, предполагающей уже известным факт существования вещественных и комплексных чисел, а также ввиду принципиального значения понятий упорядочения и фундаментальной последовательности,
266
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ПОЛЯ
[ГЛ XI
§ 77. Упорядоченные поля
В этом параграфе аксиоматически исследуется первое неалгебраическое свойство — положительность, а также основанное на нем понятие упорядочения.
Поле К называется упорядоченным, если для его элементов определено свойство быть положительным (обозначается: >0), удовлетворяющее следующим условиям:
1. Для каждого элемента а из К имеет место ровно одно из соотношений:
а = 0, а > 0, — а > 0.
2. Если а> 0 и Ь> 0, то а + 6>0 и аЬ> 0.
Если — а>0, то мы говорим, что элемент а отрицателен.
Если в некотором упорядоченном поле мы определим соотношение
а>Ь (словами: а больше Ь)
(или Ъ Са\ словами: Ъ меньше а),
как имеющее место тогда и только тогда, когда а — Ь> 0, то без труда показывается, что получится упорядочение, удовлетворяющее аксиомам. В самом деле для любых двух элементов а, Ь либо асЬ, либо а = Ь, либо а>6. Из а>6 и Ь>с следует, что а — Ь~> 0 и Ь — с> 0, так что а — с = (а — Ь) + (Ь — с) > 0
