Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Каждое поле Р (ЭЛ), которое получается присоединением алгебраически независимого множества ЭЛ к Р, называется чисто трансцендентным расширением поля Р. Строение чисто трансцендентных расширений полностью описывается предыдущей теоремой: каждое такое расширение изоморфно полю частных некоторого кольца многочленов. Таким образом, строение поля Р (2)]) зависит лишь от мощности множества ЭЛ: эта мощность называется степенью трансцендентности', ей посвящен следующий параграф,
§ 75. Степень трансцендентности
Мы покажем, что каждое расширение данного поля может быть разложено на некоторое чисто трансцендентное расширение и следующее за ним алгебраическое расширение. В основе рас-суждений лежит теорема:
Пусть О, — произвольное расширение поля Р. Тогда каждое подмножество ЭЛ поля О эквивалентно в смысле алгебраической зависимости некоторому своему подмножеству ЭЛ', являющемуся алгебраически независимым.
Доказательство. Пусть ЭЛ вполне упорядочено. Подмножество ЭЛ' определим следующим образом: элемент а из 2)] принадлежит ЭЛ', если а не зависит алгебраически от предшествующего ему отрезка 91. Тогда о множестве ЭЛ' можно высказать и доказать следующие утверждения:
1. Множество ЭЛ' алгебраически независимо. Действительно, если бы некоторый его элемент пу зависел от элементов а2, ..., ак, то множество {а2, ..., ак} можно было бы выбрать минимальным и тогда каждый элемент аг зависел бы от всех остальных. В частности, последний в смысле имеющегося порядка элемент а* зависел
258
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ X
бы от остальных элементов. Но тогда этот последний at (в силу определения множества ЭЛ') не мог бы принадлежать множеству ЭЛ'.
2. Множество ЭЛ зависит от ЭЛ'. Действительно, в противном случае в ЭЛ существовал бы первый элемент а, не зависящий от ЭЛ'. Элемент а не принадлежит множеству ЭЛ', а потому зависит от предшествующего отрезка 31, который в свою очередь (ведь а —первый не зависящий от ЭЛ' элемент) зависит от ЭЛ'. Тем самым элемент а зависит от ЭЛ', что противоречит предположению.
Дополнение. Если ЭЛсЛ, то каждая эквивалентная множеству ЭЛ алгебраически независимая подсистема ЭЛ' в ЭЛ может быть дополнена до алгебраически независимой подсистемы в Л, эквивалентной множеству Л.
Доказательство. Сделаем множество Л вполне упорядоченным так, чтобы элементы множества ЭЛ оказались предшествующими остальным элементам объемлющего множества, и построим систему Л' из Л аналогично тому, как строилась система ЭЛ' из множества ЭЛ в предыдущей теореме. Очевидно, Л' содержит среди прочих и элементы из ЭЛ'.
Система ЭЛ' называется неприводимой.
Задача 1. Провести доказательство этой теоремы с помощью леммы Цорна, примененной к замкнутому множеству А всех алгебраически независимых подмножеств из 5Ш.
Согласно предыдущей теореме каждое расширение Q поля Р можно рассматривать как некоторое алгебраическое расширение поля Р (©), где © — неприводимая система, а потому Р (©) — чисто трансцендентное расширение поля Р. Таким образом, это означает, что поле ?2 получается из Р с помощью некоторого чисто трансцендентного расширения и последующего чисто алгебраического расширения.
Построенная в предыдущих теоремах неприводимая система ЭЛ' является, конечно, не единственной; однако мощность этой системы (и тип чисто трансцендентного расширения Р (ЭЛ) ) определена однозначно. Действительно, имеет место теорема:
Две эквивалентные алгебраически независимые системы ЭЛ, Л равномощны.
По поводу общего доказательства этой теоремы можно указать оригинальную работу Штейница в J. reine angew. Math. 137, а также книгу: Г а у пт (Haupt О.). Einf?hrung in die Algebra II, Kap. 23,6. Важнейший частный случай имеет место тогда, когда по крайней мере одна из систем ЭЛ, Л конечна. Например, если ЭЛ состоит из г элементов ..., иг, то согласно следствию 4 (§ 20) в Л имеется не более г элементов, так что и Л — конечное множество; поскольку на том же основании ЭЛ не может иметь больше элементов, чем Л, множества ЭЛ и Л равномощны.
§ 76] ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ФУНКЦИИ
259
Однозначно определенная мощность алгебраически независимой системы ЭЛ, эквивалентной полю Q, называется степенью трансцендентности поля Q над полем Р.
Теорема. Расширение, получающееся в результате двух последовательных расширений (конечных) степеней трансцендентности sut, имеет степень трансцендентности s +1*).
Доказательство. Пусть Р s 2 s П. Пусть @ — система, алгебраически независимая над Р, эквивалентная полю 2 и принадлежащая 2, и пусть 5 — система, агебраически независимая над S, эквивалентная полю Q и содержащаяся в Q. Тогда @ имеет мощность s, имеет мощность t и множество © не пересекается с Q, так что объединение имеет МОЩНОСТЬ S + f.
Если мы сможем установить, что система @U^ атгебраически независима над Р и эквивалентна полю П, то треб}емое будет доказано.
Поле Q является алгебраическим над 2 ($:), а 2 — алгебраическим над Р (©); следовательно, П является алгебраическим над Р (@, 5), т. е. эквивалентным системе @ (J
Если бы существовало какое-либо алгебраическое соотношение между конечным множеством элементов из © U ^ с коэффициентами из Р, то в него прежде всего не могли бы входить элементы из потому что иначе существовало бы соотношение между этими элементами с коэффициентами из Е, что противоречит алгебраической независимости множества 5. Таким образом, алгебраическое соотношение оказалось бы соотношением лишь между элементами из ©, что противоречит их алгебраической независимости. Следовательно, множество ©U^? является алгебраически независимым над Р, чем и завершается доказательство.
