Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ТРАНСФИНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ
243
само множество М; тогда множество отрезков окажется вполне упорядоченным.
Теперь мы хотим доказать индукцией по А, что на каждом из А существует функция ф (х) = <рл (х) (определенная для всех х из А), удовлетворяющая заданным соотношениям. Пусть этот факт существования уже доказан для всех отрезков, предшествующих заданному отрезку А. Есть только два случая:
1. Отрезок А обладает последним элементом а. На множестве А', которое получается из А отбрасыванием элемента а, функция ф(х) уже определена, потому что А' предшествует отрезку А. Но с помощью совокупности значений ц>(Ь) (6<а) и с помощью заданного соотношения определяется значение ф(а). Если выбрать его, то функция ф будет определена на всех элементах отрезка А и на всех этих элементах без исключения будет удовлетворять заданному соотношению.
2. Отрезок А не имеет последнего элемента. Таким образом, каждый элемент а т А принадлежит уже предшествующему отрезку В. Но на каждом предшествующем отрезке В функция Фв уже определена. Мы хотим определить:
ф(а) = фа(а);
для этого сначала нужно доказать, что функции фВ, ц>с, ..., соответствующие различным отрезкам, совпадают в каждой общей точке этих отрезков. Пусть, следовательно, В и С — различные отрезки и пусть, например, В а С. Тогда фв и фс определены на В и удовлетворяют заданным соотношениям; следовательно, они совпадают (в силу теоремы единственности, которая уже была доказана). Таким образом, определение ф(а) = фв(а) приобретает однозначный смысл. То, что так построенная функция удовлетворяет заданным соотношениям, очевидно, потому что таковыми являются все функции фВ.
Таким образом, как в случае 1, так и в случае 2 существует функция ф на А с заданными свойствами, а потому доказано существование функции ф на любом отрезке. В частности, в качестве такого отрезка можно взять само множество М; утверждение доказано.
Глава десятая
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
Каждое поле получается из своего простого подполя с помощью конечного или бесконечного расширения. В главах 6 и 8 мы рассмотрели конечные расширения полей; в этой главе рассматриваются бесконечные расширения полей, сначала алгебраические, а затем — трансцендентные.
§ 72. Алгебраически замкнутые поля
Среди алгебраических расширений заданного поля важную роль играют, конечно, максимальные алгебраические расширения, т. е. такие, которые не допускают дальнейшего алгебраического расширения. Существование таких расширений будет доказано в настоящем параграфе.
Чтобы поле ?2 было максимальным алгебраическим расширением, необходимо следующее условие; каждый многочлен кольца ?2 [х] полностью разлагается на линейные множители (иначе можно было бы, в соответствии с § 39, расширить поле ?2 с помощью присоединения корня какого-либо нелинейного неразложимого множителя). Это условие является и достаточным. Действительно, если каждый многочлен в ?2 [х] разлагается на линейные множители, то все простые многочлены в ?2 [х] линейны и каждый элемент любого алгебраического расширения ?2' поля ?2 оказывается корнем некоторого линейного многочлена х — а в ?2 [х], т. е. совпадает с некоторым элементом а поля ?2.
Поэтому дадим следующее определение:
Поле ?2 называется алгебраически замкнутым, если любой многочлен в ?2 [х] разлагается на линейные множители.
Равнозначное с этим определение таково: поле ?2 алгебраически замкнуто, если каждый отличный от константы многочлен из ?2 [х] обладает в ?2 хоть одним корнем, т. е. хоть одним линейным множителем в ?2 [х].
Действительно, если такое условие выполнено и произвольно взятый многочлен / (х) разлагается на неразложимые множители, то все они должны быть линейными.
«Основная теорема алгебры», к которой мы вернемся в § 80, утверждает, что поле комплексных чисел алгебраически замкнуто. Следующим примером алгебраически замкнутого поля может слу-
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
245
жить поле всех комплексных алгебраических чисел, т. е. множе-ство тех комплексных чисел, которые удовлетворяют какому-либо уравнению с рациональными коэффициентами. Комплексные корни уравнения с алгебраическими коэффициентами являются и в самом деле алгебраическими не только над полем алгебраических чисел, но и над полем рациональных чисел, т. е. сами являются алгебраическими числами.
В этом параграфе мы покажем, как построить алгебраически замкнутое расширение произвольно заданного поля Р и притом чисто алгебраическим путем. Штейницу принадлежит следующая
Основная теорема. Для каждого поля Р существует алгебраически замкнутое алгебраическое расширение Й. С точностью до эквивалентности это расширение определено однозначно: любые два алгебраически замкнутых алгебраических расширения Й, Й' поля Р эквивалентны.
Доказательству этой теоремы мы должны предпослать несколько лемм:
Лемма 1. Пусть Й — алгебраическое расширение поля Р. Достаточным условием для того, чтобы О было алгебраически замкнутым, является разложение на линейные множители любого многочлена из р м в кольце Й [х].
Доказательство. Пусть f (х) — произвольный многочлен из й [х]. Если он не разлагается на линейные множители, то можно присоединить некоторый его корень а и прийти к собственному надполю й'. Элемент а является алгебраическим над Q, a й является алгебраическим расширением поля Р; следовательно, элемент а алгебраичен и над Р. Поэтому он является корнем некоторого многочлена g(x) из Р[х]. Этот многочлен разлагается в Q [х] на линейные множители. Следовательно, а —корень некоторого линейного множителя в й [лг], т. е. принадлежит полю й, что противоречит предположению.
