Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Варден Б.Л. -> "Алгебра " -> 95

Алгебра - Варден Б.Л.

Варден Б.Л. Алгебра — Наука , 1950. — 649 c.
Скачать (прямая ссылка): algebra1950.djvu
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 247 >> Следующая

г 1 = ^1. В предыдущем случае было показано, что произведение всех й; имеет
порядок й; точно так же сумма
является корнем многочлена хп — 1. Многочлен g(x) степени, меньшей чем п,
не может иметь в качестве корней элементы ?, следовательно, ?, о ? ап~1 ?
—линейно независимые элементы, и мы получили нормальный базис.
Задача 1. Провести последнее доказательство во всех деталях.
Задача 2. Если умножать элементы группы Сті, ...,сгл на о слева, то они подвергнутся некоторой перестановке 5. Представление а і—»-5 называется регулярным представлением группы &? С другой стороны, если элементы нормального базиса подвергаются некоторому автоморфизму о, то происходит некоторая перестановка 5' этих базисных элементов и оказывается заданным представление а<—»Д' группы 0 подстановками. Показать, что мы имеем дело здесь с регулярным представлением.
Глава девятая
УПОРЯДОЧЕННЫЕ И ВПОЛНЕ УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
§ 68. Упорядоченные множества
Множество называется упорядоченным или линейно упорядоченным, если на его элементах определено отношение а<.Ь, подчиненное следующим условиям:
1. Для любых двух элементов а, Ь либо a<ib, либо Ь<Са, либо а = Ь.
2. Для двух элементов а и 6 имеет место одно и только одно из соотношений: а<^Ь, Ь<Са, а = Ь.
3. Из a<zb и b<Zc следует а<с.
Если предполагаются выполненными лишь требования 2 и 3, то множество называется частично упорядоченным или полуупоря-доченным. Один важный класс полуупорядоченных множеств изучается в теории структур. См. по этому поводу Биркгоф Г. Теория структур.— М.: ИЛ, 1952.
Если а<Ь, то говорят, что а предшествует b, а b следует за а или что а находится перед b, а Ь —после а.
Из отношения а<Ь определяется несколько производных отношений:
а>Ь означает, что Ь<а; a sg b означает, что а с b или а = Ь\ а^Ь означает, что а>Ь или а = Ь.
В линейно упорядоченном множестве отношение а^Ь является отрицанием отношения а>Ь и точно так же отношение а^Ь — отрицанием отношения а<Ь.
Если некоторое множество упорядочено или частично упорядочено, то и каждое его подмножество упорядочено или соответственно частично упорядочено тем же самым отношением.
Может случиться, что упорядоченное или полуупорядоченное множество М обладает «первым элементом», который предшествует всем остальным. Например, таково число 1 в ряду натуральных чисел.
Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если каждое непустое его подмножество имеет первый элемент.
Примеры. 1. Каждое упорядоченное конечное множество является вполне упорядоченным.
238
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ IX
2. Ряд натуральных чисел вполне упорядочен, потому что в любом непустом подмножестве множества натуральных чисел имеется первый элемент.
3. Множество целых чисел —2, —1, 0, 1, 2, ... в «есте-
ственном» порядке не является вполне упорядоченным, потому что в нем самом нет первого элемента. Однако его можно вполне упорядочить, если расположить его элементы, например, так:
О, 1, -1, 2, -2, ...
или, например, так:
1, 2, 3, ...; О, -1, -2, -3.......
где все положительные числа предшествуют остальным.
Задача 1. Определим на множестве пар натуральных чисел (а, Ь) отношение порядка следующим образом: пусть (а, Ь)С(а', Ь'), если либо а<а', либо а —а', &<&'. Доказать, что так определенное отношение превращает данное множество во вполне упорядоченное.
Задача 2. В любом вполне упорядоченном множестве каждый элемент а (за исключением, быть может, элемента, являющегося последним) обладает «непосредственно следующим за ним» элементом Ь > а, причем между Ь и а нет никаких других элементов х (т. е. элементов х со свойством а<.х<.Ь). Доказать это. Имеется ли в этом случае для каждого элемента (за исключением первого) элемент, непосредственно предшествующий ему?
Пусть М — подмножество частично упорядоченного множества Е. Если все элементы X ИЗ М удовлетворяют условию то в
называется верхней границей множества М. Если в Е существует наименьшая верхняя граница g, так что для всех других верхних границ в выполнено условие то g является однозначно
определенной границей и называется верхней гранью множества М в Е.
Примеры. 1. Верхняя грань множества отрицательных чисел в поле I) рациональных чисел равна нулю. 2. Множество натуральных чисел не имеет в (Е) верхней границы и, конечно, не имеет верхней грани. 3. Множество М рациональных чисел х со свойством х2 < 2 имеет в (Е) верхнюю границу 2, но не имеет верхней грани. Однако, если присоединить к (С) вещественное число У2, то множество М в (Е) (У 2) приобретает верхнюю грань У2.
§ 69. Аксиома выбора и лемма Цорна
Цермело первым заметил, что многочисленные математические исследования опираются на некоторую аксиому, которую он сформулировал как аксиому выбора. Состоит она в следующем:
АКСИОМА ВЫБОРА И ЛЕММА ЦОРНА
239
Если задано некоторое множество непустых множеств, то существует «функция выбора», т. е. функция, которая каждому из этих множеств сопоставляет какой-либо его элемент.
Подчеркнем, что каждое отдельно взятое множество предполагается непустым и, следовательно, из каждого множества всегда можно выбрать некоторый его элемент. Аксиома утверждает, что из всех таких множеств можно одновременно выбрать по элементу.
Предыдущая << 1 .. 89 90 91 92 93 94 < 95 > 96 97 98 99 100 101 .. 247 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed