Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
248
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
только уже определены все предыдущие Рг, Е?, удовлетворяющие перечисленным выше требованиям.
Если выполнено требование 3, то прежде всего Ру — отрезок
в Еу. Из этого и из требования 2 следует, что поле Р и каждое
поле 2?^<{) являются отрезками в 2]. Предположим, что рассматриваемые требования выполнены для всех предыдущих индексов /, так что
Р —отрезок в ЕА при /К/,
— отрезок в ЕА при
Отсюда следует, что поле Р и поля ЕА(/г<;/) составляют
множество того типа, о котором говорит лемма 4. Следовательно, объединение этих полей снова является полем, которое в соответствии с требованием 1 мы должны обозначить через Ру. Структура вполне упорядоченного поля на Ру однозначно определяется требованием 2, потому что любые два элемента о, Ь из Ру при-надтежат одному из полей Р или 2^ и поэтому связаны отношением а<.Ь или а>Ь, которое должно сохраняться в Ру. Это отношение порядка является одним и тем же во всех полях Р или Е?, которые содержат как а, так и Ь, потому что все эти поля являются отрезками друг друга. Итак, отношение порядка определено. То, что оно определяет вполне упорядоченное множество, очевидно, так как каждое непустое множество ЭЛ в Ру содержит по меньшей мере один элемент из Р или из некоторого поля 2 г, а потому и первый элемент из ЭЛ П Р или из ЭЛ |~| Этот элемент одновременно является и первым элементом в ЭЛ.
Таким образом, поле Ру вполне упорядочивается с помощью требований 1 и 2. Так как поле 2, однозначно определяется требованием 3, поля Ру и 2] построены.
В силу условия 3 многочлен / (х) полностью разлагается на линейные множители в поле 2у. Далее, с помощью трансфинитной индукции показывается, что 2у является алгебраическим над Р. Действительно, предположим, что все поля 2?^<[) уже алгебраические. Тогда и их объединение с полем Р, т. е. поле Ру, алгебраическое. Далее, поле 2у в силу условия 3 алгебраично над Ру, а потому алгебраично и над Р.
Составим теперь объединение й всех полей 2у; согласно лемме 4 оно является полем. Это поле алгебраично над Р и над ним разлагаются все многочлены / (так как каждый многочлен { разлагается уже над Еу). Следовательно, поле ?2 алгебраически замкнуто (лемма 1).
Единственность поля ?2. Пусть й и й' —два поля, являющиеся алгебраическими и алгебраически замкнутыми расширениями поля Р. Докажем эквивалентность этих полей. Для этого будем считать, что оба поля вполне упорядочены. Построй^
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
249
для каждого отрезка 21 из ?2 (само поле ?2 также считается одним из таких отрезков) подмножество 21' в ?2' и некоторый изоморфизм
Р (21) ^ Р (2Г).
Последний должен удовлетворять следующим рекуррентным соотношениям.
1. Изоморфизм Р (21) ^ Р (Л') должен оставлять каждый элемент поля Р на месте.
2. Изоморфизм Р(21)^Р(2Г) при 23 с; 21 должен быть продолжением изоморфизма Р (23) Р (23').
3. Если 21 обладает последним элементом а, так что 21 = 23 и {а), и если а —корень неразложимого в Р ('В) многочлена [ (х), то элемент а' должен быть первым корнем соответствующего в силу Р(В)^Р(В') многочлена /' (х) во вполне упорядоченном поле ?2'.
Нужно показать, что этими тремя требованиями действительно определяется изоморфизм Р(21)^ёР(2Г), если только он уже определен для всех предыдущих отрезков Вед 21. Здесь необходимо различать два случая.
Первый случай. Множество 21 не имеет последнего элемента. Тогда каждый элемент а принадлежит некоторому предыдущему отрезку 23; поэтому 21 является объединением отрезков 23, а потому Р (21) — объединением полей Р (23) для 23 с: 21. Так как каждый из изоморфизмов Р (В) ^ Р (В') является продолжением всех предыдущих, то каждому элементу а при всех этих изоморфизмах сопоставляется лишь один элемент а'. Поэтому существует одно и только одно отображение Р (21) -+? Р (21'), продолжающее все предыдущие изоморфизмы Р (23)-> Р (23'), а именно — отображение со—? а'. Очевидно, оно является изоморфизмом и удовлетворяет требованиям 1 и 2.
Второй случай. Множество 21 имеет последний элемент а; следовательно, 21 = 23 и {а}. Вследствие требования 3 элемент а', сопоставляемый элементу а, однозначно определен. Так как а' над полем Р (23') (в смысле рассматриваемого изоморфизма) удовлетворяет «тому же» неразложимому уравнению, что и а над Р (В), то изоморфизм Р(В)->Р(В') (и в том случае, когда В пусто, т. е. тождественный изоморфизм Р -> Р) продолжается до изоморфизма Р (В, а)->Р(В', а'), при котором а переходит в а' (§ 41). Каждым из приведенных выше требований этот изоморфизм определен однозначно, потому что каждая рациональная функция ср (а) с коэффициентами из 21 обязательно переходит в функцию ср' (а ) с соответствующими коэффициентами из В'. То, что так определенный изоморфизм Р (21) -> Р (21') удовлетворяет требованиям 1 и 2, очевидно.
Тем самым построение изоморфизма Р (2()->Р (21') завершено. Обозначим через ?2" объединение всех полей Р(2Г); тогда существует
250
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
изоморфизм Р(?2)->-?2" или ?2->-?2", оставтяющий на месте каждый элемент поля Р. Так как поле ?2 алгебраически замкнуто, таким же должно быть и ?2", а потому ?2" совпадает со всем полем ?2'. Отсюда следует эквивалентность полей ?2 и ?2'.
