Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Лемма 2. Если поле Р вполне упорядочено, то кольцо многочленов Р [а] может быть вполне упорядочено и притом так, что в этом упорядочении поле Р будет отрезком.
Доказательство. Определим отношение порядка между многочленами f(x) из Р [х] следующим образом: пусть f (х) <g(x), когда выполнено одно из условий:
1) степень f(x) меньше степени g(x);
2) степень / (х) равна степени g(x) и равна п, т. е.
f (х) = а0хп + g(x) = b0xn + ... + bn
и при некотором индексе k: at = bi для i < k,
ak<gbk в смысле упорядочения поля Р.
246
БЕСКОНЕЧНЫЕ РАСШИРЕНИЯ ПОЛЕЙ
[ГЛ. X
При этом для многочлена 0 делается исключение: ему присваивается степень 0. Очевидно, что таким способом получается некоторое упорядочение, в смысле которого Р [х] вполне упорядочено. Показывается это так: в каждом непустом множестве многочленов есть непустое подмножество многочленов наименьшей степени; пусть таковая равна п. В этом подмножестве есть непустое подмножество многочленов, коэффициент а0 которых является первым в смысле имеющегося порядка среди свободных членов рассматриваемых многочленов; в указанном подмножестве есть в свою очередь подмножество многочленов с первым ах и т. д. Подмножество с первым ап, которое в конце концов получится, может состоять лишь из одного-едииственного многочлена (так как а0, ..., ап определяются однозначно благодаря последовательно выполняемому условию минимальности в выборе); этот многочлен является первым элементом в заданном множестве.
Лемма 3. Если поле Р вполне упорядочено и заданы многочлен f(x) степени пип символов аъ ..., ап, то поле Р (аъ а„), в котором f (х) полностью разлагается на линейные множители
П
Y\(x — cx,i), строится единственным образом и является вполне 1
упорядоченным. Поле Р в смысле этого порядка является отрезком.
Доказательство. Мы будем присоединять корни аи ..., ап последовательно, вследствие чего из Р ?= Р„ последовательно будут возникать поля Рь ..., Р„. Предположим, что Р,- j = Р (о^, ... ..., — уже построенное поле и что Р —отрезок в Р; х; тогда
Р, будет строиться ТЭК.
Прежде всего В силу леммы 2 КОЛЬЦО многочленов Pf_j [х] вполне упорядочивается. Многочлен f разлагается в этом кольце на неразложимые множители, среди которых на первом месте будут стоять х — аъ ...,х — а^х\ среди остальных множителей пусть ft(x) будет первым в смысле имеющегося порядка. Вместе с символом аг, обозначающим корень многочлена fi(x), мы определяем на основе § 39 поле Рг = Р; ! (а,) как совокупность всех сумм
h- 1 о
где h — степень многочлена fi(x). Если ft(x) линеен, то, конечно, мы полагаем P^P;^; символ аг в этом случае не нужен. Построенное поле вполне упорядочивается с помощью следующего
h — 1
условия: каждому элементу поля 2 сопоставим многочлен
о
л — 1
2 С\ХХ и элементы поля упорядочим точно так же, как упоря-
О
дочены соответствующие им многочаены.
АЛГЕБРАИЧЕСКИ ЗАМКНУТЫЕ ПОЛЯ
247
Очевидно, тогда Рг_х является отрезком в Р,, а потому и Р —отрезок в Рг.
Тем самым поля Р1( Рп построены и вполне упорядочены. Поле Рп является искомым однозначно определенным полем
РК, •••, а«)-
Лемма 4. Если в упорядоченном множестве полей каждое предшествующее поле является подполем последующего, то объединение этих полей является полем.
Доказательство. Для любых двух элементов а, р объединения существуют два поля 2а, 2р, которые содержат а и р и из которых одно предшествует доугому. В объемлющем поле определены элементы а + Р и а-р и именно так определяются эти элементы в каждом из полей, содержащих аир, потому что из любых двух таких полей одно предшествует другому и является его подполем. Например, чтобы доказать закон ассоциативности
ар • у = а ? Ру,
найдем среди полей 2а, Ер, 2У то, которое содержит два других поля (наибольшее); в этом поле содержатся а, р и у и в нем закон ассоциативности выполнен. Тем же способом проверяются все остальные правила вычислений с элементами объединения.
Доказательство основной теоремы распадается на две части: построение поля П и доказательство единственности. Построение поля и доказательство единственности проводятся с помощью трансфинитной индукции в смысле § 71.
Построение поля П. Лемма 1 свидетельствует о том, что для построения алгебраически замкнутого расширения О поля Р достаточно построить такое алгебраическое расширение поля Р, чтобы каждый многочлен из Р [х] разлагался над этим расширением на линейные множители.
Будем считать, что поле Р, а потому и кольцо многочленов Р[х], вполне упорядочены. Каждому многочлену / (х) сопоставим столько новых символов аг, ...,а„, какова его степень.
Далее, каждому многочлену / (х) сопоставим два вполне упорядоченных поля Р[, 11^, которые определяются следующим рекуррентным способом.
1. Поле Р/ является объединением поля Р и всех полей 2г для g<f.
2. Поле Р( вполне упорядочивается так, чтобы Р и все поля 2? при g<f были отрезками в Р/.
3. Поле 2/ получается из Р( присоединением всех корней многочлена / с помощью символов аъ ап в соответствии с леммой 3.
Нужно доказать, что таким способом действительно однозначно определяются вполне упорядоченные ПОЛЯ Р/, 2/, если
