Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
ТЕОРЕМА ЦЕРМЕЛО
241
Построим теперь объединение V всех /^-цепей. Тогда:
1) множество V линейно упорядочено и, следовательно, является цепью;
2) множество V вполне упорядочено;
3) в множестве V имеет место равенство 9 = для каждого у, т. е.
V является /^-цепью;
4) если к V добавить еще один элемент т, то полученное множество {V. ш} не будет /и-цепью.
Положим ш = /^(Т) Так как (V) ^ ру (V) = ш, то элемент ш является верхней границей множества V. Если бы и> не принадлежало множеству V, то множество {V, ш} было бы /^-цепью, что противоречит 4). Следовательно, ш принадлежит множеству V. Поэтому
С другой стороны, было известно, что ? (К) ш; следовательно,
?(У) = о1, w = fg(V) = fw,
чем и доказывается основная лемма.
Теперь мы предположим выполненной аксиому выбора и докажем принцип максимума.
Пусть М — частично упорядоченное замкнутое множество. Если х — элемент из М, не являющийся максимальным, то множество тех элементов у, для которых у > х, не пусто. Согласно аксиоме выбора каждому немаксимальному элементу х можно сопоставить некоторый [х > х; для максимального х положим [х=х. Согласно основной лемме существует элемент но со свойством [ио*=и>. Этот элемент но максимален, чем и доказывается принцип максимума.
70. Теорема Цермело
Наиболее важным следствием аксиомы выбора является теорема Цермело о полном упорядочении:
Каждое множество может быть вполне упорядочено.
Цермело дал два доказательства этой теоремы1). Первое из них было упрощено X. Кнезером и состоит в следующем.
Пусть М — некоторое множество. Каждое собственное подмножество N в М имеет непустое дополнение М \ N. В силу аксиомы выбора существует функция ср (А), которая каждому собственному подмножеству N сопоставляет некоторый элемент из М\ЛТ
Под ф-цепью мы понимаем теперь любое подмножество К в М, вполне упорядоченное таким образом, что для каждого у из К имеет место соотношение
У = ф {Ку),
где К у — отрезок множества К, состоящий из тех х, которые предшествуют элементу у во вполне упорядоченном множестве К-
Теперь нужно воспользоваться теми же рассуждениями, которые применялись в § 69 при доказательстве основной леммы, но вместо /^-цепей нужно брать ф-цепи. Итак, возьмем объединение V всех ф-цепей и заметим, что множество V вполне упорядочено, множество V является ф-цепью и если к V добавить еще один элемент но, то полученное множество {V, но} не будет ф-цепью.
Если V ф М, то в множестве М \ V можно взять отмеченный элемент Щ = ф(К) и рассмотреть его как последний элемент в V. Расширенное множество {V, ю} будет тогда вновь ф-цепью, что противоречит сказанному выше. Тем самым остается одна возможность: множество V совпадает со всем множеством М. Следовательно, множество М — У вполне упорядочено.
1) МаПъ Апп., 1904, 59, Б. 514; 1908, 65, Б. 107,
242
УПОРЯДОЧЕННЫЕ МНОЖЕСТВА
[ГЛ. IX
Важность вполне упорядоченных множеств состоит в возможности применения метода индукции, известного нам по счетным множествам, в случае любых вполне упорядоченных множеств. Этот вопрос рассматривается в следующем параграфе.
§ 71. Трансфинитная индукция
Доказательство с помощью трансфинитной индукции. Чтобы доказать некоторое свойство Е для всех элементов вполне упорядоченного множества, можно рассуждать так: докажем, что свойством Е обладает любой элемент при условии, что им обладают все элементы, предшествующие этому элементу (в частности, и первый элемент множества). Тогда свойством Е должен обладать вообще каждый элемент множества. Действительно, иначе был бы элемент, не обладающий свойством Е\ но тогда существовал бы и первый элемент е среди не обладающих свойством Е. Все предшествующие элементы в этом случае обладали бы свойством Е, но тогда и элемент е обладал бы этим свойством, что и дает противоречие.
Построение с помощью трансфинитной индукции. Предположим, что элементам х некоторого вполне упорядоченного множества М требуется сопоставить новые объекты ф (х), и предположим, что для этого мы раснолагаем «рекуррентным определяющим соотношением», которое связывает каждое значение ф (а) со значениями Ф (Ь) (Ь<_а). Предположим, что это соотношение определяет ф (а) однозначно, как только определены все ф (Ь) (й<а), которые между собой связаны тем же соотношением. Вместо одного соотношения может быть задана также и система соотношений.
Теорема. При сделанных предположениях существует одна и только одна функция ф (х), значения которой удовлетворяют заданному соотношению.
Докажем сначала единственность. Предположим противное: существуют различные функции ф(х), ф (х), удовлетворяющие определяющему соотношению. Тогда должен существовать первый элемент а, для которого ф(а)=т^ф(а). Для всех Ь<са равенство ф(6) = ф(6) оказывается выполненным. В силу предположения о том, что заданное соотношение определяет значение ф (а) однозначно по всем предыдущим ф(6), должно иметь место равенство ф(а) = ф(а), что противоречит предположению.
Чтобы доказать существование, рассмотрим отрезки А множества М. (Отрезок А — это по-прежнему множество элементов, предшествующих некоторому элементу а.) Они составляют вполне упорядоченное множество (с отношением Лей как отношением порядка); действительно, каждому элементу а взаимно однозначно соответствует отрезок А, состоящий из тех х, для которых Х<а, и из Ь<,а следует В а А. Возьмем в качестве последнего отрезка
