Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
1) произведение любых двух движений данного множества (свойство замкнутости);
2) тождественное движение /0;
3) движение обратное произвольному движению f данного множества.
Множество движений, состоящее только из тождественного движения /0, также является группой, так как
/о /о ^ /о
и поэтому условия 1 и 3 выполнены.
Заметим, что условие 2 вытекает из условий 1 и 3, если группа движений содержит движение /, отличное от тождественного (по условию 3 группа содержит обратное движение, а по условию 1 — произведение / • /-1 = /0).
Группой является множество всех движений. Легко видеть также, что группой является множество движений, отображающих некоторую плоскость а самое в себя. Эту группу движений назовем группой движения на
57
плоскости. Ниже ознакомимся с другими примерами групп движений.
Существует бесчисленное множество движений, отображающих две какие-либо точки Л и В в А' и В'. Действительно, эти точки определяют лучи AB и А'В'', а так как существует бесчисленное множество полуплоскостей, ребрами которых являются прямые AB и А'В', то существует бесчисленное множество движений, отображающих луч AB в луч А'В' (свойство 6, § 7).
Пусть движение / отображает точки А, В и С, не лежащие на одной прямой, в точки Л', В' и С (черт. 46): /(Л, В, C)=A', В', С.
Покажем, что не существует другого движения, отображающего точки Л, В и С в точки А', В' и С.
Точки Л и В и точки А'и В' определяют лучи AB и А'В' с началами в Л и Л'. Точки С и С А \ в определяют лолуплос-
/\ кости X и X', ограничен-
/ \ ные прямыми AB и А'В'.
(л* ччг При движении / луч Л В
\ \ отображается в луч А'В',
\ \ а полуплоскость X в
\ \?' полуплоскость X'. По свойству 6 (§7) такое \ \ движение является един-\ г ственным, что и требо-\ / валось установить. ^ Отсюда мы делаем Черт. 46 важный вывод: движение
фигуры полностью определяется перемещением трех ее точек, не лежащих на одной прямой.
В следующих параграфах рассматриваются движения на плоскости, т. е. такие движения, при которых некоторая плоскость отображается сама в себя.
§ 20. Отражение от прямой
В § 9 мы установили, что существует движение, при котором прямая а, лежащая в плоскости а, отображается
58
сама в себя, все точки этой прямой также отображаются сами в себя, а полуплоскости, ограниченные этой прямой, отображаются одна в другую (X в p., a jx в X). Точка M одной полуплоскости отображается в точку M' другой полуплоскости. Было установлено, что отрезок MM' перпендикулярен прямой а и делится ею в точке M0 пополам. Отсюда следует, что точка M' отобра- Q зится в точку М. Итак, точки M и M' I отображаются друг в друга взаимно і (черт. 47). Д
Черт. 47 Черт. 48
Данное движение называется отражением, от прямой а. Сама прямая а называется осью отражения. Будем обозначать такое движение через Sa. Имеем Sa (M) = M' и Sa (M') = М.
Если f~x — движение, обратное отражению Sa, то .S0 /-1 =/0. С другой стороны, произведение движений SaSa отображает каждую точку M самое в себя, т. е. SaSа = /0. Отсюда следует, что /-1= Sa, т. е. движение, обратное отражению, совпадает с этим отражением:
Sa'1 =Sa.
Фигуры F и F\ отображающиеся друг в друга при отражении от а, называются симметричными относительно этой прямой. В частности, точки M и M' симметричны относительно а.
Фигуру, которая при движении отображается сама в себя, будем называть фигурой инвариантной для этого движения.
Инвариантными фигурами при отражении являются точки оси отражения и сама ось. Легко видеть, что таковыми являются также прямые, перпендикулярные оси.
59
Если фигура F инвариантна при отражении от прямой а, то будем говорить также, что она симметрична относительно этой прямой; ось отражения а будем называть осью симметрии фигуры F (черт. 48).
§ 21. Движение произвольного вида на плоскости
Произведение отражений относительно прямых а, Ь, с и т. д., лежащих в плоскости а, является движением, при котором плоскость а отображается сама в себя, т. е. двхі-жением на этой плоскости. Оказывается, что такими произведениями исчерпываются все движения на плоскости. Более того, имеет место следующая теорема.
Теорема. Всякое движение на плоскости можно представить как произведение самое большее трех отражений.
Пусть / — движение на плоскости а, отличное от тождественного. Рассмотрим луч А, расположенный на этой плоскости и выходящий из точки О. Этот луч принадлежит прямой, ограничивающей две полуплоскости X и При движении / точка О, луч h и полуплоскости X и ц отображаются соответственно в точку О', луч h\ выходящий из О', и полуплоскости X' и р/, ограниченные прямой, которой принадлежит луч К. Коротко запишем так: /(О, К X, р.) = О', h\ X', ц'.
Черт. 49 а Черт. 49 б
Будем считать, что О' не совпадает с О, что допустимо, так как / не является тождественным движением. Возьмем прямую а плоскости а, перпендикулярную отрезку 00' и делящую его пополам. При отражении от нее точка О отобразится в точку О', луч h и полуплоскости X и jx отобразятся СООТВеТСТВеННО В ЛуЧ A1 И ПОЛУПЛОСКОСТИ X1 И {x1.
