Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
§ 15. Понятие о построениях при помощи одной линейки
Как мы видели в предыдущем параграфе, элементарные построения 1—5 не являются независимыми между собой. Это значит, что одни из этих построений можно свести к другим. Так, можно свести построения при помощи линейки и циркуля к построениям при помощи только одного циркуля. Встает вопрос о других возможностях в этом направлении. Нельзя ли свести построения при помощи линейки и циркуля к построениям при помощи одной линейки? Немецкий геометр Ш т е й н е р (1833) рассмотрел такого рода построения и пришел к очень интересным выводам. Оказывается, что все задачи, разрешимые при помощи циркуля и линейки, являются разрешимыми также при помощи одной линейки, если в число конструктивных элементов включить произвольную окружность и ее центр и пользоваться точками пересечения ее с конструктивными прямыми. Любая другая окружность считается при этом построенной (конструктивной), если конструктивны ее центр и радиус.
Элементарными построениями, следовательно, мы будем считать построения 1—3 и следующее построение:
4*. Построение точек пересечения (если они существуют) конструктивной прямой и данной неподвижной окружности с отмеченным центром (эта окружность и центр ее являются конструктивными элементами).
45
Задача. Дана окружность О и прямая а, проходящая через ее центр. Через данную точку М, не лежащую на прямой а, провести прямую, перпендикулярную к данной прямой (черт. 36 а, б).
Черт. 36 а Черт. 36 б
Пусть А я В — точки пересечения прямой а с данной окружностью (построение 4*). Если прямая MA (или MB) касается окружности, то она будет перпендикулярна AB, т. е. будет искомой прямой. Исключим этот случай. Пусть M лежит вне окружности.
Строим прямые MA и MB (построение 1) и точки пересечения их с данной окружностью — точки С и D (построение 4*). Строим, далее, прямые AD и ВС (построение 1). Очевидно, что ВС ± AM и AD ± BM. Прямые ВС и AD пересекаются, так как они перпендикулярны разным сторонам АМВ, который не является развернутым. Строим точку их пересечения P (построение 2). Для A AMB точка P является точкой пересечения двух высот (или их продолжений). Поэтому третья высота (или ее продолжение) этого треугольника тоже пройдет через Р. Строим прямую MP (построение 1), которая будет искомой.
Если M лежит внутри окружности, то построение проводим в том же порядке.
\ / Пусть M лежит на окружности
у (черт. 37). Через произвольную точ-
ку L, лежащую внутри окружности, Черт. 37 проводим прямую, перпендикулярную
46
прямой а, так, как было рассмотрено выше. Строим точки пересечения ее с окружностью — точки PhQ. Проводим прямую PM и строим точку пересечения ее с прямой а — точку Т. Затем проводим прямую Q7\ строим вторую точку пересечения ее с окружностью — точку M' и, наконец, строим прямую ЛШ', которая будет искомой. Доказательство легко усмотреть из симметрии чертежа относительно прямой а.
§ 16. Построения при помощи двусторонней линейки
Под двусторонней линейкой будем понимать инструмент, при помощи которого можно строить полосу раз навсегда данной ширины Ь (§ 12). К этому инструменту приходим путем абстракции реальной чертежной линейки с параллельными краями. Понятно, что двусторонняя линейка приводит к иным элементарным построениям, чем циркуль и односторонняя линейка. Теперь мы будем включать в класс конструктивных элементов прямую, параллельную конструктивной прямой и образующую с ней полосу ширины 8. Кроме того, будем считать конструктивными такие две пары параллельных прямых, каждая из которых удовлетворяет условиям:
1) прямые образуют полосу ширины В;
2) одна из прямых проходит через конструктивную точку Л, другая — через конструктивную точку 5, где АВ>Ъ.
Таким образом, мы приходим к следующим элементарным построениям:
1. Построение прямой, проходящей через две конструктивные точки.
2. Построение точки _
пересечения двух конструк- I Jl ¦ — -тивных прямых. I—I--¦-1-1
3. Построение прямой, _ Ч_і
образующей с конструктивной прямой полосу шири- ЧеРт- 38
ны о (черт. 38).
4. Построение двух пар параллельных прямых, удовлетворяющих указанным выше условиям 1) и 2) (черт. 39).
Фигура считается построенной при помощи двусторонней линейки, если она включена в класс конструктивных эле-
47
Черт. 39
ментов при помощи последовательного выполнения конечного числа элементарных построений 1—4.
Приведем примеры построений при помощи двусторонней линейки.
Задача 1. Построить прямую, параллельную данной прямой а и проходящую через данную точку А (черт. 40).
Через точку А и произвольную точку M прямой а строим прямую O1. Затем строим прямую Ь2, параллельную O1 и образующую с ней полосу ширины 8. Таким же путем строим прямую 63, параллельную Ь2 (см. чертеж). Далее, строим точку N, в которой пересекаются прямые а и 63, прямую AN9 точку О, в которой последняя прямая пересекается с Ь2, прямую МО и точку пересечения ее с прямой Ьъ — точку /С. Наконец, проводим прямую А К, которая, как легко видеть, будет искомой (так как диагонали
