Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Ориентированный угол с начальной стороной h и конечной k будем обозначать так: ^ (H1 к). Итак, будем говорить о направлении угла от стороны h к стороне k. На чертеже направление угла обозначается дуговой стрелкой, расположенной во внутренней области угла; конец стрелки указывает на конечную сторону угла (черт. 58).
Каждый угол можно ориентировать двумя способами в зависимости от выбора начальной стороны его. Исходя из наглядных представлений, мы говорим об ориентации этого угла в направлении вращения часовой стрелки или об ориентации его в противоположном направлении. Мы говорили также об одинаковом или противоположном направлении двух ориентированных углов, применяя к каждому из них-критерий «вращения часовой стрелки». Свойствами ориентированных углов пользуются в геометрии и ее приложениях. Таким образом, в элементарном курсе геометрии, оперируя с направленными углами, мы пользуемся рядом предложений, принимаемых без доказательства и подсказанных нам опытом, т. е. пользуемся аксиомами. Мы принимаем без доказательства возможность разбиения мно-
Черт. 59 Черт. 60
67
жества ориентированных углов плоскости на два класса, обладающих следующими свойствами:
1. Углы: ^ (А, Щи {k, А), с общей внутренней областью принадлежат разным классам.
2. Углы: ^(h, Щ и (А, /), с общей начальной стороной принадлежат одному классу, если один из них полностью принадлежит другому (т. е. представляет его часть), и разным классам в противном случае (черт. 59).
3. Два угла: ^ (A, k)
и ^ (I, т), каждый из которых меньше развернуто-го, принадлежат одному классу, если их начальные и конечные стороны направлены попарно одинаково (§ 22) или попарно противоположно (черт. 60).
Следствие. Вертикальные углы: ^(А, Щ и ^(/, т), принадлежат одному классу, если их начальные стороны (а значит и конечные) принадлежат одной прямой (черт. 61).
4. Если равные углы: ^(А, k) и ^ (/, т), с общей вершиной О не являются вертикальными и принадлежат одному
классу, то углы: (A, I) и ^i(k, т), каждый из которых меньше развернутого, также равны и принадлежат одному классу (черт. 62 а, 62 б).
Черт. 61
Черт. 62 а
Черт. 62 б
5. Движение на плоскости всякие два угла, принадлежащие одному классу, отображает в углы, принадлежащие также одному классу.
68
Углы одного класса мы назовем углами, ориентированными в направлении вращения часовой стрелки, а углы другого класса — углами, ориентированными противоположно вращению часовой стрелки.
Перечисленные свойства позволяют установить, принадлежат ли какие-либо два ориентированных угла одному классу, или эти углы принадлежат разным классам. Покажем, как это можно сделать.
Пусть даны равные острые углы ^ (A, k) и ^ (/, tri) с общей вершиной О. Если они вертикальные, то поставленная задача решается с помощью следствия из свойства 3. Если же они имеют общую внутреннюю область, то вопрос решается на основании свойства 1. Будем считать поэтому, что они не являются вертикальными и внутренние области их разные.
Рассмотрим две пары углов, каждый из которых меньше развернутого: пару углов ^ (A, I)1 (U1 т) и пару углов ^r(A, т), ^ (k, I). Легко видеть для каждого из возможных случаев расположения данных углов, показанных на чертежах 63, а, б, в, что из этих двух пар углов всегда можно выбрать пару неравных между собой. При принятых для
Черт. 63
данных чертежей обозначениях (А, т) Ф ^l(U1 /). По
свойству 4 заключаем, что ^ (A, k) и ^(т, I) принадлежат разным классам (т. к. при принадлежности их к одному классу (А, т) = ^ /)). Следовательно, углы
(A, k) и ^ (/, tri) принадлежат одному классу.
Пусть теперь равные острые углы: ^ (A, k) и ^ (I, т), имеют разные вершины O1 и O2 (черт. 64). Построим третий
69
угол — ^ (A', k') так, чтобы точка O2 была его вершиной, а его стороны были параллельны соответствующим сторонам угла (A, k) и одинаково направлены с ними. Тогда по
свойству 3 углы: ^ (A, k) и (A', k'), принадлежат одному классу. Нам осталось решить поставленную задачу для
равных углов — ^ (A', к') и ^ (/, т), что мы умеем уже сделать. Если они принадлежат одному классу, то одному классу принадлежат также данные углы. В противном случае данные углы принадлежат разным классам.
Черт. 64
Возьмем теперь два произвольных угла — ^ (A, k) и ^ (/, т). Построим равные острые углы — (A, k') и ^:(/, /п'), представляющие части углов — ^ (А, &) и
(/, т) — соответственно.
По свойству 2 углы: ^:(А, и -^(А, ?), принадлежат одному классу,то же относится к углам (Z, т') и (/, т). Решив вопрос о принадлежности углов: ^ (А, и ^ (/, т'), к одному классу, мы, следовательно, решим поставленную задачу для данных углов.
Рассмотрим теперь, что происходит с ориентацией углов при движении.
Теорема. При отражении от прямой ориентация любого угла меняется на противоположную.
Пусть при отражении от прямой a (А, k) отобразился в (А\ k'). Нам надо доказать, что эти углы принадлежат разным классам.
70
а) Частный случай, а — ось симметрии -^(А, k)
