Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Замечаем, что центр O1 являющийся данным элементом, не связан явным образом с искомыми элементами. Для установления этих связей проведем диаметр NN1. Так как дуги BN и NC равны, то диаметр NN1 пересекает отрезок ВС в его середине F и перпендикулярен этому отрезку. Отсюда следует, что NN1 || AM.
Диаметр NN1 определен данной точкой N1 хорда AM определена точкой M и условием параллельности ее диаметру NN1. Этим определяется точка А. Точка F является точкой пересечения диаметра NN1 и хорды АР. Она может быть поэтому построена, как только будет построена точка Л. Наконец, точки В и С определяются как концы хорды, перпендикулярной диаметру NN1 и проходящей через точку F.
Черт 43 а
/У
Черт. 43 б
51
Построение (черт. 43 б). Строим диаметр AW1 (элементарные построения 1 и 4), прямую, проходящую через точку M и параллельную этому диаметру (основное построение), и вторую точку Л, в которой она пересекается с окружностью (элементарное построение 4). Строим, далее, прямую AP и точку F, в которой она пересекает диаметр NN1 (элементарные построения 1 и 2). Через точку F проводим прямую, перпендикулярную диаметру AW1 (основное построение), и отмечаем точки В и С, в которых она пересекается с окружностью (элементарное построение 4). Наконец, строим Д АБС.
Доказательство. Докажем, что Д ABC является искомым. По построению он вписанный. Так как хорда ВС перпендикулярна диаметру AW1, то BF = FC и K^BN=KjNC. Следовательно, AF— медиана Д ABC, а луч AN — биссектриса ^ ВАС. Наконец, AM _[_ BC1 так как AM И NN1. Д ABC удовлетворяет условиям задачи.
Исследование. Из построения вытекает единственность точек Л, В и С. Следовательно, решение единственное, если оно существует.
Черт. 43 в Черт. 43 г
Если точки P и M лежат по одну сторону прямой AW1, то хорда ЛP не пересекается с диаметром AW1 и поэтому решение невозможно. Будем считать в дальнейшем, что точки M и P лежат по разные стороны от прямой AW1.
Если w NM = w AyW, то точка Л совпадает с M (черт. 43 в).
Если w MAfP меньше полуокружности, то ^ РАМ — острый и поэтому ^AFN1—тоже острый. В этом случае точки A YL N лежат по разные стороны прямой ВС, луч AN пере-
52
секает сторону ВС и поэтому явится биссектрисой ВАС треугольника ABC Задача имеет решение.
Если же w MNP больше полуокружности, то ^ РАМ — тупой (черт. 43 г). Решения в этом случае не будет, так как луч AN не пересечет хорду ВС
Если, наконец, w MNP равна полуокружности, то AABC вырождается в хорду (черт. 43 д).
Вывод. Задача имеет единственное решение, если точки P и M лежат по разные стороны от прямой AW1 и дуга MNP меньше полуокружности; при несоблюдении этих условий задача не имеет решения.
В процессе анализа при отыскании решения используются особые приемы, получившие название методов решения геометрических задач на построение.
Если установление связей между данными и искомыми элементами проводится на основе метрических соотношений, то имеем алгебраический метод решения задач на построение. При этом методе длины искомых отрезков выража- ЧеРт- 43 Д
ются в виде формул через длины
данных отрезков. На основе этих формул устанавливаются необходимые построения для получения решения. Подробно этот метод будет рассмотрен ниже, в § 50.
При решении задач на построение часто используются геометрические преобразования всей фигуры или ее отдельных элементов. В зависимости от характера преобразования различаются отдельные методы геометрических построений. К ним относятся методы переноса, симметрии и подобия, которые рассмотрим ниже, в § 28 и 41.
В § 49 будет показано применение особого преобразования, называемого инверсией, к решению некоторых задач.
§ 18. «Метод геометрических мест»
Большое значение для геометрических построений имеет «Метод геометрических мест». Рассмотрим его особо.
Пусть искомым элементом является точка М. Свяжем с ней две фигуры и F2, пересекающиеся в этой точке. Тог-
53
да задача сводится к построению этих фигур, что может оказаться более легко выполнимым.
Для отыскания фигур F1 и F2 можно воспользоваться следующим приемом. Пусть точка M определена условиями аи а2> аз> •••» ап- Отбросим условие Oc1 и будем искать множество точек, удовлетворяющих остальным условиям. Это множество образует фигуру F1. Отбросим вместо условия (x1 условие а2 и будем теперь искать множество точек, удовлетворяющих условиям Oc1, ос3, oln. Это второе множество точек образует фигуру F2.
Множество точек, удовлетворяющих определенным условиям, мы назвали (§4) геометрическим местом точек, удовлетворяющих этим условиям. В силу этого фигура F1 является геометрическим местом точек, удовлетворяющих условиям а2, Oc3, ап, а фигураF2 — геометрическим местом точек, удовлетворяющих условиям ol1, ос3, ап. Таким образом, задача сводится к определению первого и второго геометрических мест точек и их построению по условиям задачи. Искомая точка M является точкой пересечения этих геометрических мест.
Описанный метод решения задач на построение называется методом геометрических мест. Рассмотрим примеры применения этрго метода.
