Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
(черт. 65). При отражении от прямой (A, k) отобразится
в (k, А) с той же внутренней областью. По свойству 1 ориентация угла изменилась.
б) Общий случай. Возьмем произвольную точку К на црямой а и построим (I, т) с вершиной в этой точке так, чтобы он был симметричен относительно данной прямой
Черт. 65 Черт. 66
(черт. 66). Легко видеть, что такой угол всегда существует. Ориентацию этого вспомогательного угла возьмем так, чтобы она совпадала с ориентацией данного угла (A, k). Пусть это будет (/, т). При отражении ^ (/, tri) меняет свою ориентацию и отображается в ^ (т, V), который по свойству 5 будет иметь одинаковое направление с ^ (A', последовательно, углы: (A, k) и (/, т), принадлежат разным классам.
Следствие. Если движение может быть представлено как произведение четного числа отражений, то ориентация углов при этом движении не меняется (например, яри переносе); если же движение может быть представлено как произведение нечетного числа отражений, то ориентация углов меняется на противоположную.
§ 25. Повороты на плоскости
Рассмотрим теперь движение, которое можно представить как произведение двух отражений относительно пересекающихся прямых. Это движение назовем поворотом.
71
Пусть поворот / является произведением отражений от прямой Ь (второе отражение) на отражение от прямой а (первое отражение):
Рассмотрим точку пересечения осей (черт. 67). Так как Sa (О) = О и Sb (О) = О, то /(О) = О, т. е. при повороте точка О отображается сама в себя (неподвижная точка). Пусть А и /— лучи прямых а и Ь, выходящие из точки О.
При отражении Sa луч А отображается сам в себя, а при отражении Sb он отображается в некоторый луч А', выходящий из точки О. Будем считать, что ^ (A, I) не превышает
прямого угла. Ориентированный ^ (А, А'), который берем таким, чтобы он не превышал развернутый угол, будет ра-
—> —>
вен по величине удвоенному ^ (А, /). Так как ^ (А, ^составит при этом часть ^ (А, А'), то (А, /) и ^ (А, А') одинаково ориентированы.
Точку О назовем центром поворота, а ориентированный угол в = ^ (А, А') — углом поворота.
Черт. 67
Черт. 68
Черт 69
72
Возьмем теперь произвольную точку M плоскости и проведем через нее луч ОМ, который обозначим через k
(черт. 68). После отражения от прямых а и b ^ (h, к) преобразуется в равный ему ^ (й', k'). Так как при каждом отражении ориентация угла меняется на противоположную, то углы: ^ (h, k) и ^(h\ k'), будут одинаково ориентированными. Отсюда следует (§ 24), что ^ (h, h') и ^ (k, k') равны и одинаково ориентированы. Кроме того, OM' = ОМ. Чтобы получить точку M', соответствующую точке M
при повороте с центром О и углом поворота @, надо провести через M луч k, выходящий из центра поворота, построить ^ (k, к'), равный углу в и одинаково с ним ориентированный, и на луче k' взять точку M' так, чтобы OM' = ОМ.
Таким образом, каждая точка плоскости поворачивается вокруг О на один и тот же угол 0. Следовательно, поворот
полностью определен центром О и углом поворота в.
Тождественное движение можно рассматривать как поворот, угол которого равен нулю.
Из сказанного следует, что поворот, заданный центром
О и углом G, можно представить как произведение двух отражений относительно осей а и &, проходящих через центр поворота. Ось а при этом мы можем взять произвольно, ось Ъ должна составить с осью а угол ср, равный половине угла поворота и одинаково с ним ориентированный, считая при этом направление вращения угла ср от оси первого отражения (ось а) к оси второго отражения (ось Ь).
Если поворот / является произведением отражения Sb на отражение Sa, то этот же поворот можно задать как произведение отражений относительно осей а' и Ь' (черт. 69), проходящих через центр поворота О и образующих между собой угол, равный углу между осями а и Ъ и одинаково с ним ориентированный (направление ориентации считается в обоих случаях от оси первого отражения к оси второго отражения). Можно записать, что
/ = SbSa = Sb> Sa> .
При повороте на любой угол окружности с центром в точ-
76
ке О будут отображаться сами на себя (инвариантные фигуры при повороте).
Если при повороте фигура F отображается сама на себя, то будем говорить, что эта фигура имеет симметрию относительно данного поворота.
Фигура F имеет симметрию вращения порядка п относительно центра О, если при повороте вокруг него на угол 360°
0 = • п эта фигура отображается сама на себя. Точка О
называется центром симметрии п-г о поряд-к а фигуры F. На чертежах 70 и 71 приведены примеры симметрии вращения пятого и шестого порядков.
Установим теперь связь между осевой симметрией (§ 20) и симметрией вращения.
Если фигура F имеет две оси симметрии а и Ъ, пересекаю-
/
Ж
Черт. 70
Черт. 71
щиеся под углом Cp =
= п , то при повороте f = SbSa
(угол поворота в
2ср = -) эта фигура отображается
сама на себя. Следовательно, точка пересечения этих осей является центром симметрии
/v' п-го порядка. Например, правильный шестиугольник имеет две оси симметрии, пересекающиеся под углом 30°, и симметрию вращения шестого порядка.
