Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Два вектора будем считать равными, если они равны по величине и имеют одинаковое направление. Равенство векторов AB и CD обозначается при помощи обычного знака равенства:
AB = CD.
Если при точечном преобразовании точка M отображается в точку M', то вектор MM' называется вектором смещения точки M при данном преобразовании.
Рассмотрим луч h, выходящий из точки О. Все векторы, принадлежащие лучу h и выходящие из точки О, одинаково направлены между собой. Будем говорить, что каждый из них определяет направление данного луча.
Пусть направления лучей huh' определены векторами
OA и О'А'. Лучи huh' мы назовем одинаково направленными, если векторы OA и О'А' имеют одинаковое направление; если же эти векторы имеют противоположное направление, то данные лучи назовем противоположно направленными.
§ 23. Переносы на плоскости
Рассмотрим движение на плоскости, которое можно представить как произведение двух отражений относительно параллельных прямых. Такое движение называется параллельным перенесением или переносом на плоскости. Это название связано со следующим характерным свойством рассматриваемого движения.
Теорема. При переносе на плоскости векторы смещения всех точек этой плоскости равны между собой.
Пусть перенос / можно представить как произведение отражения от прямой b (второе отражение) на отражение от параллельной ей прямой а (первое отражение): / =SbSa.
При первом отражении точки K1 L1 M и т. д. прямой а (черт. 55) отображаются сами в себя, а при отражении от прямой b они отобразятся в точки К\ L', M' и т. д. Величина каждого из векторов MM', LL', КК\ ... равна удвоен-
64
ной ширине полосы, ограниченной прямыми а и &, все они перпендикулярны этим осям и располагаются по ту же сторону от а, что и прямая Ъ. Будем говорить, что они направлены от прямой а к прямой Ъ. Следовательно, векторы смещения всех точек прямой а при переносе / равны между собой.
Черт. 55
Черт. 56
Рассмотрим прямую с, пересекающую прямые а и ft, но не перпендикулярную им (черт. 56). Пусть при отражении от прямой а прямая с отображается в прямую c1, а при отражении от прямой b прямая C1 отображается в прямую с2: $а (с) = съ St(Ci) = с2. Итак, при переносе / прямая с отображается в прямую c2- Прямые с и Ci образуют с прямой а равные углы / и 2, а прямые C1 и C2 образуют с прямой b равные углы 3 и 4.
Так как а \\ Ъ, то ^-2 = ^3. Поэтому + ^2 = ^3 + +^.4. Отсюда следует, что прямые с и C2 при пересечении с прямой C1 образуют равные внутренние накрест лежащие углы, т. е. с Il C2.
Если с Il а, то C1 || а, C1 \\ b и C2 Il Ь. Значит, и в этом случае с Il с2.
Итак, прямая с, не перпендикулярная прямым а и о, отображается в параллельную ей прямую C2.
Что касается прямых, перпендикулярных прямым а и Ь, то они, очевидно, отображаются сами в себя.
Пусть N — произвольная точка плоскости, не лежащая на оси а (черт. 57). Она при переносе / отобразится в точку
Черт. 57
65
АГ. Вектор ее смещения AW'. Возьмем точку К на оси а так, чтобы прямая NK не была перпендикулярна прямым а и Ь. При переносе точка К отобразится в точку К\ а отрезок NK в параллельный и равный ему отрезок AT/С'. Следовательно, фигура NN'KK' является параллелограммом.
Поэтому векторы AW' и KK равны между собой.
Вектор смещения любой точки плоскости равен вектору смещения точки К оси а. Этим теорема доказана.
Следствие. Если перенос представлен как произведение отражений от параллельных прямых, то вектор смещения какой-либо точки равен по величине удвоенной ширине полосы, ограниченной этими прямыми, перпендикулярен им и направлен от первой оси отражения ко второй.
Вектор смещения любой точки при переносе назовем вектором переноса. Из доказанной теоремы следует, что перенос полностью определяется вектором переноса.
Пусть задан вектор переноса. Чтобы представить перенос как произведение двух отражений, надо ось первого отражения а взять произвольно, но перпендикулярно вектору переноса, а ось второго отражения Ь взять параллельно оси а так, чтобы ширина ограниченной этими прямыми полосы была равна половине вектора переноса, и так, чтобы направление вектора переноса совпадало с направлением от оси а к оси Ь.
Если / =SfrSa, то движение f~l =SAS# будет обратным ему. Действительно, используя свойство сочетательности, получим:
/~~1 / ~ (Sа$b) (Sb^а) — Sa(SbSh)Sa = Saf0Sa = SaSa = fo,
где /о — тождественное движение.
Движение, обратное переносу, есть перенос, вектор которого равен по величине вектору данного переноса и имеет с ним противоположное направление.
Тождественное движение мы будем рассматривать как перенос, вектор которого равен нулю.
При переносе, отличном от тождественного движения, не существует точек, отображающихся сами в себя. Прямые, параллельные вектору переноса, очевидно, преобразуются сами в себя (инвариантные фигуры при переносе).
66
§ 24. Ориентированные углы
Угол, у которого одна сторона считается начальной, а другая конечной, называется направленным или ориентированным углом.
