Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 25

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 79 >> Следующая


Черт. 72

Если угол поворота равен развернутому углу, то этот поворот называется отражением

74

от центра О. Точка M отображается в точку ЛГ так, что центр О является серединой отрезка MM' (черт. 72). Точки M и M' называются симметричными относительно центра О. Очевидно, что движение, обратное отражению от точки, совпадает с этим отражением.

Черт. 73

Симметрию вращения второго порядка обычно называют центральной симметрией (черт. 73).

§ 26. Скользящее отражение

Нам осталось рассмотреть движения на плоскости, отличные от отражения, переноса и поворота. По доказанной в § 21 теореме каждое такое движение можно представить как произведение трех отражений.

Пусть движение / представлено как произведение трех отражений:

/ = ScSbSa.

Черт. 74 а Черт. 74 б

Рассмотрим сначала тот случай, когда оси a, b и с не параллельны все между собой и не пересекаются в одной точке.

Пусть оси а и Ъ пересекаются в точке О, через которую ось с не проходит (черт. 74 а). Пользуясь сочетательным

75

законом для умножения движений, мы можем записать: f=Se (SbSa).

HoS0S^ есть поворот с центром О. Этот поворот представим как произведение отражений от осей а иЬ', проходящих через ту же точку О и пересекающихся под тем же углом, под которым пересекаются оси а и Ь. При этом ось Ь' возьмем перпендикулярной оси с. Итак,

f=Sc (SbSa) =SC (SbrSar).

Пользуясь сочетательным свойством умножения, движение / можно представить так:

f=(SeSb.)Sa..

Произведение Sc • Sb> есть поворот вокруг точки пересечения осей с и Ь' (точка O1). Этот поворот представим как произведение отражений от осей b/f и с/, проходящих через ту же точку O1h пересекающихся также под прямым углом (черт. 74 б). При этом ось Ь" возьмем параллельной оси а'. Тогда имеем:

SeSb. = Se.Sb-nf = (Se.Sb-)Sa..

Снова пользуясь сочетательным законом, окончательно получим:

f=Se>(Sb.Sa.).

Произведение Sb«Sa> , где Ъ" || а', есть перенос, вектор которого перпендикулярен осям а' и Ь" и, следовательно, параллелен оси с'.

S

Черт 75

76

Рассматриваемое движение / может быть представлено, следовательно, как перенос с последующим отражением от оси, параллельной вектору переноса. Такое движение называется скользящим отражением.

На чертеже 75 показано скользящее отражение: фигура

F сначала подвергнута переносу с вектором ЛЛ*, а потом

отражению от оси а, параллельной ЛЛ*.

Так как скользящее отражение является произведением трех отражений, то ориентация углов при нем меняется на противоположную. Очевидно, что при скользящем отражении нет неподвижных точек, а ось а отображается сама в себя.

Докажем, что ось скользящего отражения а делит отрезок, соединяющий соответственные точки фигур F и F', пополам.

Для этого рассмотрим Д А А* А'. Прямая а параллельна стороне ЛЛ* этого треугольника и делит отрезок ЛГА* пополам. Следовательно, отрезок AA' разделится также пополам.

Отмеченным свойством оси скользящего отражения можно воспользоваться для ее нахождения, если это движение задано тремя парами соответственных точек фигур F и F'.

Рассмотрим теперь случай, когда оси а, Ь и с пересека-

Черт. 76 Черт. 77

ются в одной точке (точка О). Движение / =ScSbSa по свойству сочетательности можно представить так: / = Sc(SbSa). Поворот SbSa можно представить как произведение ScSa', где ось а' проходит через ту же точку О и составляет с осью

77

с угол, равный углу между осями а и b и направленный от а' к с (черт. 76). Тогда

f=Sc (SeSa>).

Применим опять свойство сочетательности:

f = (ScSc)Sa-.

Так как SCSC = /0 — тождественное движение, то / = Sa>t т. е. движение /, является отражением от оси а'.

Если теперь оси а, b и с параллельны (черт. 77), то / =ScSbSa =Sc(SbSa). Вместо осей а и b возьмем оси а' и с так, чтобы SbSa =ScSa' (перенос SbSa мы выразили как произведение отражений от осей а' и с). Получим:

f=Se(S?a') = (S?JSa.=Sa',

т.е. движение и в этом случае есть отражение.

§ 27. Классификация движений на плоскости

Всякое движение на плоскости, как мы знаем, можно представить как произведение не более трех отражений. Выше мы рассмотрели все возможные случаи представления движений в виде одного, двух или трех отражений и этим охватили все многообразие движений на плоскости.

Движения, которые можно представить как произведение четного числа отражений, назовем движениями первого рода. К ним относятся следующие движения:

1 Тождественное движение (нуль отражений).

2. Перенос (два отражения).

3. Поворот (два отражения).

При движении первого рода ориентация углов не изменяется.

Движения, которые можно представить как произведение нечетного числа отражений, назовем движениями второго рода. Это следующие движения:

4 Отражение (одно отражение).

5. Скользящее отражение (три отражения). При движении второго рода ориентации углов изменяется на противоположную.

Произведение двух движений первого рода является движением первого рода, так как при этом ориентация уг-

78

лов не изменяется. Произведение двух движений второго рода дает тоже движение первого рода по той же причине.
Предыдущая << 1 .. 19 20 21 22 23 24 < 25 > 26 27 28 29 30 31 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed