Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 17

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 79 >> Следующая


четырехугольника AKNM Черт. 40

в точке пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом).

Задача 2. Удвоить данный отрезок AB (черт. 41).

Строим прямую а, проходящую через точки А и В. Через точку А проводим произвольную прямую O1, отлич-

Черт. 41

ную от а, а через В — прямую 62, параллельную O1 (задача 1). Строим затем две полосы ширины 8, примыкающие друг к другу и ограниченные одна прямыми а и %, а другая

48

прямыми Ci1 и а2. Через точки MhL, в которых прямые аи а2 пересекаются с прямыми Ь1 и Ъ2, проводим прямую и отмечаем точку B1, в которой она пересекается с прямой а. Легко видеть, что BB1 = AB. Так же строится отрезок AA1= = AB.

Задача 3. Через точку M провести прямую, перпендикулярную данной прямой а (черт.

Через точку M и произвольную точку А прямой а проводим прямую O1; затем строим две полосы ширины о, ограниченные прямыми bl9 b2 и b2, Ьг. Пусть прямая b2 пересекается с прямой а в точке В. Через А и В проводим вторую пару параллельных прямых C1 и C2 (построение 4), образующих полосу ширины о. Обозначим через С и D точки пересечения их с прямыми O1 и Ь2. Так как в параллелограмме ACBD высоты равны, то он является ромбом. Следовательно, CD ± а. Остается построить прямую, проходящую через M и параллельную CD (задача 1). Дальнейшее построение ясно из чертежа.

§ 17. О методах решения задач на построение

Основным и обычно наиболее трудным моментом решения задачи на построение является отыскание той цепочки элементарных и основных построений, при помощи которых искомая фигура включается в класс конструктивных элементов. Если данные конструктивные элементы мы будем различными возможными способами пополнять новыми при помощи элементарных построений, то может оказаться построенной и искомая фигура. Тогда мы сможем выделить искомую цепочку построений, т. е. решить задачу. Такой метод явно не применим для решения задач на построение. Действительно, при решении таких задач мы данные конструктивные элементы пополняем обычно еще произвольными элементами (точками, отрезками), что можно сделать бесконечным числом способов. Отсюда следует возможность бесконечного числа комбинаций при приобщении но-

49

вых элементов к конструктивным, среди которых вряд ли окажется необходимая.

Обычно при отыскании искомой цепочки построений мы исходим из искомой фигуры, выделяем в ней элементы, построение которых обеспечивает решение задачи, и находим связи этих искомых элементов с данными конструктивными элементами. Пользуясь этими связями, мы устанавливаем необходимые основные и элементарные построения и их последовательность для построения искомой фигуры. Эта часть решения задачи называется анализом.

При анализе обычно пользуются чертежом-наброском искомой фигуры вместе с данными элементами, отказываясь при этом от точного изображения последних. В школьной практике этот чертеж можно рекомендовать выполнять полностью или частично от руки. На чертеже-наброске выделяются данные и искомые элементы, после чего устанавливаются связи между ними. Для установления последних часто проводятся вспомогательные линии, при помощи которых данные и искомые элементы оказываются частями фигур, свойства которых нам известны.

Установив при помощи анализа необходимые связи, мы переходим ко второй части решения задачи, называемой построением. Построение заключается во включении искомой фигуры в класс конструктивных элементов посредством найденной цепочки элементарных и основных построений. Эта часть решения сопровождается построением чертежа-решения при помощи соответствующих чертежных инструментов.

Следующей частью решения является доказательство. Здесь мы устанавливаем, что построенная фигура удовлетворяет условиям задачи.

Заключительным этапом решения задачи на построение является исследование. Целью исследования является выяснение, при каких данных искомая фигура существует, сколько при определенных данных существует решений, какие при этом могут встретиться частные случаи, требующие особого решения.

Рассмотрим на примере процесс решения задачи на построение.

Задача. Дана окружность и на ней три различные точки М, N и Р, в которых пересекаются с окружностью продолжения высоты, биссектрисы и медианы, исходящие

50

из одной вершины вписанного треугольника. Построить этот треугольник.

Данные элементы: окружность с центром O1 точки A4, N и P на этой окружности (черт. 43 б).

Искомые элементы: точки A1 В и С на окружности О, являющиеся вершинами искомого треугольника.

Анализ. Строим чертеж-набросок. Впишем в окружность О произвольный Д ABC и будем считать его искомым

(черт. 43 а). Из вершины А проведем высоту AD1 биссектрису AE и медиану AF. Пусть продолжения их пересекают окружность в точках M1NnP. Эти точки будем считать данными элементами.

Данные и искомые элементы связаны следующим образом:

1) AM ± BC1 так как AD — высота А АВС\

2) kj BN = \у NC1 так как ^ BAN = ^ NAC;

3) отрезки AP и ВС пересекаются в точке F1 являющейся серединой отрезка ВС.
Предыдущая << 1 .. 11 12 13 14 15 16 < 17 > 18 19 20 21 22 23 .. 79 >> Следующая

Реклама

Сервисный центр эпл

центр ЭПЛ

iprofix.com.ua

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed