Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, мы должны сделать вывод, что приведенный нами список аксиом недостаточен для построения курса геометрии. Для решения поставленного вопроса необходимо ввести новую аксиому. В качестве такой аксиомы Евклид принял первое предложение и построил курс той геометрии, которую мы изучаем в школе.
Лобачевский показал, что в качестве этой новой аксиомы можно принять второе предложение. Приняв такую аксиому, Лобачевский построил новую геометрию, носящую его имя (геометрия Лобачевского). Эта геометрия во многом
39
резко отличается от геометрии Евклида, однако в ограниченной части пространства, доступной нашим измерениям, она так же хорошо согласуется с опытом, как и геометрия Евклида. Последняя выступает в качестве очень точного приближения геометрии Лобачевского в доступной нам части пространства. Так как геометрия Евклида значительно проще и удобнее для изучения геометрических свойств окружающих нас реальных предметов, чем геометрия Лобачевского, то мы изучаем ее в первую очередь.
Обычно вместо пятого постулата Евклида в качестве аксиомы принимается следующее предложение.
Аксиома (аксиома параллельности). Через точку, лежащую вне прямой, нельзя провести двух прямых, параллельных данной прямой.
Пусть дана прямая а и точка M вне ее (черт. 32). Проведем через M прямую су пересекающую а в некоторой точке N. Затем проведем через M прямую b так, чтобы сумма образованных прямыми а и Ъ внутренних односторонних углов / и 2 была равна развернутому углу. Тогда b || а. Аксиома утверждает, что любая другая прямая Ь\ проходящая через M и лежащая в той же плоскости, в которой расположены прямые а и 6, пересекает прямую а. Отсюда, как легко видеть, вытекает пятый постулат Евклида.
Следствия из этой аксиомы считаем известными из школьного курса.
Пусть а и b — параллельные прямые, расположенные в плоскости а. Все точки каждой из них расположены в этой плоскости по одну сторону от другой прямой. Пусть, далее, X — полуплоскость, ограниченная прямой а и содержащая прямую 6, a (x — полуплоскость, ограниченная прямой b и содержащая прямую а. Пересечение полуплоскостей X и
40
(x назовем полосой (черт. 33), а прямые а и Ъ — границами полосы.
Очевидно, что полоса является выпуклой фигурой (§ 4).
Отрезки прямых, перпендикулярных границам полосы, заключенные внутри полосы, равны между собой. Каждый из них называется шириной полосы.
ГЛАВА И
ПОСТРОЕНИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 13. Построения на плоскости при помощи циркуля и линейки
Во всякой геометрической задаче на построение (конструктивной задаче) имеются данные элементы — определенные геометрические фигуры (точки, прямые, окружности, отрезки, углы и т. д.). Будем называть их данными конструктивными элементами. Кроме того, будем пользоваться произвольными точками плоскости, которые нами приобщаются к данным элементам и этим включаются в класс конструктивных элементов.
Совокупность данных конструктивных элементов и приобщенных к ним мы будем пополнять новыми конструктивными элементами следующим образом:
1. Конструктивной считается прямая, проходящая через две конструктивные точки.
2. Конструктивной считается общая точка двух конструктивных прямых (если она существует).
3. Конструктивной считается окружность, определенная конструктивным центром и конструктивным радиусом (отрезок, соединяющий две конструктивные точки).
4. Конструктивными считаются общие точки конструктивной прямой и конструктивной окружности (если они существуют).
5. Конструктивными считаются общие точки двух конструктивных окружностей (если они существуют).
В задаче на построение выражается требование построить некоторую фигуру. Построить искомую фигуру при помощи циркуля и линейки — это значит включить ее в класс конструктивных элементов путем последовательного присоединения к этому классу точек, прямых и окружностей указанным выше образом.
41
В каждом из перечисленных выше случаев мы будем говорить о выполнении соответствующего элементарного построения. Таким образом, мы имеем следующие пять элементарных построений:
1. Построение прямой, проходящей через две конструктивные точки. Возможность этого построения установлена аксиомой 1 (§2).
2. Построение точки пересечения двух конструктивных прямых (если они пересекаются).
Считаем, что эти два элементарных построения осуществляются при помощи линейки, которая является абстрактным образом чертежной линейки. Таким образом, к линейке в геометрии мы приходим путем абстракции реального инструмента, употребляемого в черчении. При помощи последнего мы на чертеже проводим реальные отрезки. От этих реальных построений путем абстракции переходим к указанным элементарным геометрическим построениям.
3. Построение окружности с конструктивным центром и конструктивным радиусом.
Считаем, что это построение выполняется при помощи, абстрактного инструмента — циркуля, к которому приходим путем абстракции реального чертежного циркуля.
4. Построение точек пересечения (если они существуют) конструктивной окружности и конструктивной прямой.
