Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Шоластер Н.Н. -> "Элементарная геометрия" -> 21

Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.

Шоластер Н.Н. Элементарная геометрия. Под редакцией Иваницкой В.П. — М.: Государственное учебно-педагогическое издательство министерства просвещения РСФСР, 1959. — 272 c.
Скачать (прямая ссылка): egnnsholaster1959.djvu
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 79 >> Следующая


60

1. Может оказаться, что луч A1 совпадет с А', а полуплоскость X1 — с полуплоскостью X' (черт. 49 а). В этом случае в силу свойства 6 (§ 7) движение / совпадает с отражением Sa.

2. Может оказаться, что луч A1 совпадет с лучом А', а полуплоскость X1 совпадет не с X', а с jx' (черт. 49 б). Тогда полуплоскость ^1 совпадет с X'. Произведем, теперь второе отражение от прямой Ъ, которой принадлежит луч h!. Тогда луч А' отобразится сам в себя, а полуплоскость X1 —в полуплоскость X'. Имеем SbSa(O, A, X) = О', А',X'. В силу того же свойства 6 / = S^Sа.

3. Пусть теперь луч A1 не совпадет с лучом А' (черт. 50 а, б). Проведем через точку О' прямую Ь, разделяющую

(A', A1) пополам, и произведем второе отражение относительно этой прямой. Тогда точка О' отобразится сама в себя, луч A1 отобразится, очевидно, в луч А', полуплоскость X1 — в полуплоскость X2, а полуплоскость ^1 — в [х2. Если при этом X2 совпадает с X' (чертеж 50 а), то S^Sа (О, A, X) = =0', h!, X'. Следовательно, движение / совпадает с произведением S^ Sa.

Если же X2 совпадает с \ь' (черт. 50 б), то произведем еще третье отражение от прямой с, которой принадлежит луч А'. Тогда Sc (O', К, X2) = О', A', X'. Следовательно, в этом случае / = ScSbSa, т. е. движение / яеляется произведением уже трех отражений.

Так как рассмотрены все возможные случаи, то теорема этим доказана. Таким образом, чтобы рассмотреть все различные виды движений на плоскости, достаточно рассмотреть, кроме отражения, еще произведения двух и трех отражений. Это и будет сделано в следующих параграфах.

Черт. 50 а

Черт 50 б

61

§ 22. Векторы

Множество точек отрезка AB можно упорядочить двумя способами, которые мы сейчас и рассмотрим.

Пусть К, L и M — три различные точки отрезка AB1 и пусть на прямой AB установлено направление от А к В. При первом способе будем считать, что точка L следует за точкой К и предшествует точке M1 если на направленной прямой эти точки находятся в том же порядке. При этом говорят, что на отрезке AB установлено направление от А к B1 совпадающее с направлением прямой. Множество точек

отрезка стало, как легко видеть, упорядоченным (см. § 3). Точки Л и В оказываются при этом соответственно началь-Че т ной и конечной точками.

ерт" х При втором способе будем

считать, что точка L предшествует точке К и следует за точкой M1 если на направленной прямой точка L следует за точкой К и предшествует точке M (мы получим, очевидно, то же самое, если на прямой установим направление от В к Л и упорядочим множество точек отрезка первым способом). В этом случае говорят, что на данном отрезке установлено направ- of

ление от В к A1 противоположное направлению прямой. Теперь

Л ВС h-і--Ь-

6) я

точка В будет на- тт со тт ко<<

J Л Черт. 52 а Черт. 52 6

чальнои, а точка А— * v

конечной точкой упорядоченного множества точек отрезка.

Отрезок, на котором установлено направление, называется ориентированным отрезком или вектором. Начальная и конечная точки его называются соответственно началом и концом вектора.

Если на отрезке AB установлено направление от А к B1

то полученный вектор обозначается символом AB.

На Чертеже конец вектора указывается стрелкой (черт.

51>- _ _

Векторы AB и CD считаются равными по величине, если равны отрезки AB и CD.

62

Рассмотрим векторы AB и CD, принадлежащие ориентированной прямой а. Если оба они имеют одинаковое направление с прямой или если оба они имеют противоположное направление с этой прямой, то данные векторы считаются одинаково направленными. Если же один из них имеет одинаковое направление с прямой, а другой противоположное, то эти векторы считаются противоположно направленными (черт. 52 а, б).

Векторы AB и CD, принадлежащие разным прямым, считаются одинаково направленными, если эти прямые параллельны и концы данных

в

о)

\

Черт. 53 а Черт. 53 б

векторов лежат в одной полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через их начала (черт. 53 а). Если же их концы лежат в разных полуплоскостях, ограниченных этой прямой, то данные векторы считаются противоположно направленными (черт. 53 б).

Отметим без доказательства следующие очевидные свойства векторов, принадлежащих одной и той же прямой или параллельным прямым.

1. Если равные по величине векторы AB и CD одинаково

направлены, то векторы AC и BD тоже равны по величине и одинаково направлены.

2. Два вектора, одинаково направленные с третьим вектором, одинаково направлены между собой.

3. Два вектора, противоположно направленные с третьим вектором, одинаково направлены между собой. Ориентированная прямая а, пер-f пендикулярная прямой t, при отра-- жении от последней преобразуется сама в себя, но меняет свое направление, так как принадлежащие ей лучи, полученные при пересечении данных прямых, отображаются взаимно друг в друга. Следовательно, меняет свое направлениелюбой вектор, принадлежащий прямой а (черт. 54).

в

я'

В'

Черт. 54

63

Итак, вектор, перпендикулярный прямой, при отражении от нее меняет свое направление на противоположное.
Предыдущая << 1 .. 15 16 17 18 19 20 < 21 > 22 23 24 25 26 27 .. 79 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed