Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Определение 5.13. Класс последовательностей [1/ av ] порядкового типа 2 таких, что
limit av = b,
vv
где b — делитель нуля и обратные величины 1 / av существуют, будем считать числом, обратным делителю нуля b, и обозначать как 1 / b:
- = limit—, av ф 0.
b v av v
Например, пусть
b = limit Lim (1, 0, 1, 0,...). (5)
v n
Число Lim(1, 0, 1, 0,...) обратного не имеет, поэтому его нельзя ис-
n
пользовать в конструкции 1/b. Однако в класс (5) входит последовательность - + Lim(1, 0, 1, 0,...), которая уже имеет обратную. Следо-
v v
вательно, можно записать
— = limit Lim
v(1) , v(2),^b v(n),...
_ 1 + v(1) 1 + v(3)
b
где
v = Limv (n) = Lim(v (1), v (2),... v (n),...).
Очевидно, что числа, обратные делителям нуля, являются неограниченными. Тем не менее в состав бесконечности отсущ данные числа не входят. Это суть новые объекты, которые необходимо выделить в отдельную категорию. Можно сказать, что числа данной категории имеют двойственную природу. С одной стороны, они имеют общие черты с ограниченными существенными числами, с другой — общие черты с бесконечностью.
В соответствии с изложенным есть все основания ограниченные существенные числа также разбить на отдельные категории. К первой категории отнесем число 0сущ, ко второй — делители нуля, к третьей — остальные ограниченные числа.
В заключение отметим одно обстоятельство. Выше мы использовали один и тот же символ «limit» для обозначения классов последовательностей с различными условиями эквивалентности:
1) сходящихся к ограниченным существенным числам, например
limit = 1
2) образующих бесконечность: limit v 2 =
3) образующих числа, обратные делителям нуля:
1
limit— = у.
V^-от п
Из контекста всегда будет ясно, какому именно условию эквивалентности соответствует символ «limit». Аналогичная ситуация с обозначениями имеет место и в классическом анализе, например
0
вещ
= lim — ,
n^-от n
^вещ lim
ф lim
n^-от
1+1
1+1
V nj
= lim
+ n
1 + I
Однако
отвещ = lim n = lim
n^-от n^-от
n +
n 2 J
= lim(n + n2).
1
В обоих случаях добавление последовательности j результата не меняет. Но добавление последовательности {n2} меняет результат
У^-от
V
У^-от
качественно в первом случае, а во втором случае также не меняет. Таким образом, в указанных примерах символ «lim» соответствует разным условиям эквивалентности.
4. Свойства существенных чисел
Перейдем к описанию основных свойств, включая и некоторые свойства, которые уже упоминались. В области ограниченных существенных чисел
1) определены операции сложения и умножения, которые обладают свойствами коммутативности, ассоциативности и дистрибутивности;
2) есть нуль и единица:
0 = limit 0эл = limit Lim 0абс; 1 = limit 1эл = limit Lim 1абс;
^ v v n v v n
3) каждое существенное число a имеет противоположное число (-a) и обратное число a-1, если a ф 0 и a — не делитель нуля:
a + (- a) = 0 сущ , a • a = 1сущ .
Таким образом, область существенных чисел образует числовое поле. Далее,
4) любое элементарное число А входит в область существенных чисел через стационарную последовательность как объект limit A.
Например, v
j сущ = limit j = limit Lim(-1) n+1
v v n
(индекс будем опускать);
5) в области существенных чисел отсутствуют а) дуальная единица (J ф 0, J2 = 0), б) мнимая единица (i2 = - 1); но содержатся: в) двойные единицы и делители нуля; г) числа, сравнимые и несравнимые между собой; д) подобласть, изоморфная полю вещественных чисел (ядра вещественных чисел).
Таким образом, область существенных чисел является частично упорядоченной;
6) в области вещественных чисел имеет место аксиома Архимеда, которая эквивалентна Первой аксиоме разрешения. В области существенных чисел аксиома не действует, поэтому данная область не является архимедовой. Взамен аксиомы Архимеда здесь действует Вторая аксиома разрешения.
