Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
n n
В классическом анализе функция y = f (х) считается непрерывной в точке х = х0, если операторы f и lim перестановочны между собой:
f (lim0 х) = lim f (х). (11)
X —— х 0 х —— х 0
По форме условия (10) и (11) идентичны. Поэтому условие (10) будем также называть условием непрерывности. Примем следующее
Определение 4.2. Будем говорить, что последовательность a(n) непрерывно продолжена в точку w (или на номер w), если
a (w) = Lim a (n).
n
Значение аргумента будем указывать также в виде индекса: aw = Liman, где aw = a(w), an = a(n).
n
Аналогичным образом будем строить непрерывные продолжения и на другие значения аргумента, например
a(w + 1) = Lima(n + 1),...a(ww) = Lima(nn),... .
n n
Если нет специальной оговорки, то под продолженной последовательностью
ab a2, — an... aw,... au...>
будем понимать последовательность, продолженную по непрерывности.
Имеет место следующая
Теорема 4.1. Если последовaтельность {an} является монотонной и огрaниченной, то последовaтельность, продолженнaя по непрерывности, тaкже является монотонной и огрaниченной.
• Доказательство. Пусть имеется монотонная последовательность порядкового типа 1:
a1 < a2 < a3 <...< an <...< M. (12)
Тогда для любого фиксированного m имеем am < Liman, так как при n > m an > am. n
Пусть
B = Lim bn = am+1, A = Lim an = am.
n
Тогда B > A, так как bn = an+1 > an.
Аналогично показывается, что am > aD при люб^гх m > u.
Теперь об ограниченности.
Из ограниченности последовательности {an} вытекает ограниченность любой ее подпоследовательности. Значит, каждое из приближений числа av ограничено. Поэтому av < М. Следовательно, цепочку неравенств (12) можно продолжать таким образом: a1 <a2 <... <an <... <aw <...<av <... <M. Что и требовалось доказать. ¦ Теорема 4.2. Если [an, bn] есть последовaтельность стягивaющиxся отрезков, то продолженные последовaтельности {aD}, {Ьи} облaдaют следующим свойством: для любого aктуaльно бесконечно большого
«натурального» числа Г > 0 всегда найдется такой «натуральный» номер Л, что при любом и > Л будет иметь место неравенство
bu - au < Г. (13)
• Доказательство.
Пусть Г = Lim mk. Здесь
m1, m2,...mk...
— заданная неограниченная последовательность конечных натуральных чисел. Последовательность отрезков [an, bn ] является стягивающейся (n — конечные номера). Это означает, что для любого рационального числа ек = —^ найдется номер Мк такой, что для любо-
mk
го n > Мк будет иметь место условие
Cn = bn - an < —.
mk
Возьмем теперь последовательность номеров
М1, М 2,... Мк... и образуем элементарное число
Л' = Lim Мк.
к
Число Л', вообще говоря, может и не попасть в ряд «натуральных» чисел. Если остановиться на версии неограниченного «натурального» ряда, то можно утверждать, что среди «натуральных» чисел заведомо найдется число Л большее, чем Л'. В выборе номеров М1,...Мк... всегда есть произвол. Именно, вместо любого номера Мк всегда можно взять другой номер, больший, чем Мк. Поэтому от числа Л' мы всегда можем перейти к числу Л, которое будет заведомо
«натуральным». Таким образом, по заданному числу г > 0 мы построили «натуральное» число Л, которое гарантирует выполнение неравенства (13) при любых и > Л.
Данная теорема будет верна и в случае, если мы располагаем только ограниченной версией продолженного натурального ряда:
1, 2, 3...n,... w,... ww,... v...< L*. (14)
Здесь, как и прежде, L* — верхняя граница ряда. Фигурально выра-
Т *
жаясь, можно сказать, что граница L от самого ряда отстоит доволь-
но далеко. По крайней мере, для любого члена ряда v число L / v также будет верхней границей ряда.
Вместо последовательности стягивающихся отрезков достаточно рассмотреть последовательность их длин:
С1, С2, Сз...Сп,...Сщ,...Сп,.... (15)
Здесь С1,...Сп... — последовательность рациональных чисел, такая, что lim Сп = 0 в смысле классического анализа. Любой член после-
П^-ся
довательности (15) с бесконечно большим номером получен непрерывным продолжением Сп. Например,
Сщ = Lim Сп , С»+ 1 = Lim Сп +1.
nn
Cv = Lim^^), где v = Limv(n). n n n Индексы в ряде (15) взяты из ограниченного натурального ряда (14). Пусть теперь Г < L — «натуральное» число из ряда (14). Требуется показать, что найдется «натуральное» Л такое, что для любого v > Л будет иметь место следующее неравенство: С |< 1/ Г. Главным является то обстоятельство, что число Л должно быть «не очень большим». Точнее, Л должно принадлежать ограниченному ряду (14)
