Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Второе принципиальное отличие тесно связано с указанным выше и состоит в следующем. В классическом анализе дедекиндо-во сечение можно описать через приближения, которые принадлежат к верхнему и (или) нижнему классам. В неархимедовом случае это не так: ни числа рv, ни числа пополнения s для этой цели недостаточны. Фигурально выражаясь, они отстоят слишком далеко от чисел, которые мы разместили внутри обнаруженных щелей области (1). Тем не менее проблема описания приближений легко решается.
Обратимся, например, к объекту (5). Продолжим последовательности (5) по непрерывности. В результате получим последовательность порядкового типа 2:
r1, r2,...rn = r(n),...,rw = r(w) = Limrw(n) = Limr(n);...
n n
...r 2 = r(w2) = Limr 2(n) = Limr(n2);...
w n w n
... rv = r (v) = Lim rv (n) = Lim r (v(n)),...
n n
Аналогичную последовательность имеем и для r'. Процедуру непрерывного продолжения можно проиллюстрировать кривыми, показанными на рис. 2.1.
Указанные приближения однозначно определяют ядро a* = limit r (v) = limit r' (v).
v——ш v——ш
При этом для иррациональных a последовательности r (v), r' (v) к последовательностям «рациональных» чисел pv не сводятся.
Пусть теперь х-m,...х0,...,xn — переменные, которые пробегают ядра вещественных чисел, рациональных и иррациональных. Числовая область
X = х-mwm +... + х 0 + х 1Е +... + xn En (6)
будет линейно упорядоченной. Поместим все числа вида (6) на неархимедову прямую. Здесь n и m — произвольные конечные натуральные числа. Следующий шаг заключается в том, чтобы рассмотреть суммы вида (6) для бесконечного числа слагаемых. Для этого необходимо построение теории рядов. Следующие этапы построения неархимедовой прямой отложим до § 18 гл. 4.
§ 7. Вещественная прямая в области существенных чисел
Полученные результаты позволяют дополнить наши представления об обычной вещественной прямой. У нас все готово для того, чтобы ответить на вопрос: что представляет собой классическая вещественная прямая, если ее рассматривать как часть области существенных чисел. Прежде всего, опишем область существенных чисел в целом.
Данная область характеризуется следующими свойствами: она является 1) многомасштабной; 2) непрерывной и 3) многомерной. Первое свойство означает, что в данной области содержатся числа, отношения между которыми равны актуальным бесконечно малым или бесконечно большим числам. Второе свойство — непрерывность, или сплошность, полнота — связывается со следующим фактом. Вместе с каждой фундаментальной последовательностью чисел, принадлежащих к области существенных чисел, к данной области принадлежит и предел данной последовательности. Проще говоря, каждая фундаментальная последовательность в области существенных чисел является сходящейся. (Для последовательностей элементарных чисел это верно по построению. Для последовательностей существенных чисел этот факт, как уже отмечалось, будет доказан ниже.) Наконец, многомерность области связывается с тем фактом, что в данной области линейного порядка нет, а есть только частичный порядок.
Таким образом, в целом область существенных чисел можно представить как непрерывную (сплошную) среду, которая на бесконечном числе масштабных уровней заполняет бесконечномерное пространство. Тогда существенную прямую можно представить себе как ось, которая, подобно спице, пронизывает область существенных чисел. Причем сама существенная прямая также является многомасштабной и непрерывной. Однако в отличие от области в целом существенная прямая является одномерной: между ее элементами линейный порядок есть.
Обратимся теперь к вещественной прямой. Каждое вещественное число (то есть каждая точка данной прямой) представляет собой совокупность последовательностей рациональных чисел. Некоторые последовательности мы объединяли в классы, которые назвали элементарными числами. Элементарные числа входят в область существенных чисел через стационарные по v последовательности. Например,
Е = limit Е = limit Lim—,
v v n n
A сущ = limit Lim
v n
1 + 1
Всущ = limit Lim
v n
1 +
1 Л n+1
n + 1
(1)
Правило (1) позволяет включить любое элементарное число вещественной прямой в область существенных чисел. Если мы на эту прямую смотрим со степенью разрешения, принятой в классическом
анализе, то каждая ее точка представляется неделимым объектом. В целом прямая выглядит непрерывной и линейно упорядоченной. При взгляде же с большим разрешением мы видим совершенно другую картину. Каждое вещественное число распадается на совокупность существенных чисел типа (1). Причем между данными числами линейного порядка уже нет. Например, в состав евещ наряду с числами (1) входит и число
Ссущ = limit Lim
v n
1 + i
n
+ (=Dn
(2)
