Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
одну характеристику указанных чисел, которая позволяет соотнести их с конечными вещественными числами. Введем следующее
Определение 5.9. Существенное число s будем называть ограниченным, если найдется такое число Л, принадлежащее продолженному натуральному ряду, что будет иметь место неравенство | s | < Л.
Ограниченные числа в существенной области аналогичны конечным числам в вещественной области. Таким образом, далее рассматривается задача описания объекта, который по отношению к ограниченным числам существенной области играл бы ту же роль, что и объект «бесконечность» *вещ по отношению к конечным числам вещественной области.
Определение 5.10. Класс последовательностей {1/av} порядкового типа 2 таких, что limit av = 0сущ и 1/av существуют, будем обозначать как »сущ и называтьубесконечностью в области существенных чисел.
Данный класс будем иногда обозначать как 1 / 0сущ и относить к области существенных чисел. Если последнее обстоятельство необходимо подчеркнуть особо, то будем говорить о расширенной области существенных чисел.
Определение 5.11. Факт принадлежности некоторой последовательности {bv} к классу *сущ будем отмечать следующим образом:
limit bv = *Сущ, или bv ^ ®сущ.
О самой последовательности {bv} будем говорить как о пути, ведущем к дасущ. Например,
limit v = * сущ, limit(—v) = * , limit(—1)v • v3 = да
v v v
Определение 5.12. Последовательность {av} порядкового типа 2 называется положительной, если начиная с некоторого индекса Л для любых v > Л члены последовательности сравнимы с нулем и av > 0.
Последовательность {av} называется отрицательной, если последовательность {— av} положительна.
Пусть Л — произвольное число из продолженного натурального ряда. Последовательность называется знакопеременной, если начиная с некоторого индекса ее члены сравнимы с нулем и для любого Л существуют хотя бы два индекса m и g такие, что am > 0 и ag < 0 при
m, g > л.
Последовательность называется несравнимой с нулем, если для любого Л найдется хотя бы одно v > Л такое, что число av будет несравнимо с нулем. В соответствии с указанными признаками
разобьем класс последовательностей отсущ на четыре подкласса, которые обозначим соответственно через +»сущ, — отсущ, от±ущ, от0ущ. Если aV ^ отсущ и, кроме того, известен характер последовательности {aV}, то вместо отсущ будем указывать обозначение соответствующего подкласса. Например,
limit v = + отСуЩ, limit (—v) = — от ,
V V (4)
limit (—1)V • v 3 = от^ущ; limit j • v 2 = от0ущ.
VV
Объект +отсущ совпадает с объектом + от*, который в п. 3 § 4 был
введен как идеальный.
Таким образом, если бесконечность в области вещественных чисел складывается из трех составляющих +от, —от и ±от, то здесь имеем четыре составляющие +отсущ, —отсущ, ±отсущ и от0ущ. При этом подкласс от0 чрезвычайно широкий. Последнее связано
с тем обстоятельством, что область вещественных чисел является линейно упорядоченной (и, значит, сводится к вещественной прямой), в то время как область существенных чисел упорядочена только частично и представляет собой бесконечномерное образование.
Первое равенство (4) позволяет ответить на вопрос: куда, собственно, стремится переменная v в записи предельного перехода limit.
V
Ответ такой: переменная v стремится к плюс бесконечности + отсущ.
Поэтому исходное обозначение предела можно уточнить таким образом:
limit bV = limit bV.
V V ^ + отсущ
Индекс «сущ» и знак «+» будем опускать.
3. Делители нуля и числа, обратные делителям нуля
Выше мы рассмотрели область элементарных чисел вида А = Lim an, где {an} — произвольная последовательность абсолютных
n n n
рациональных чисел. Подобно тому, как абсолютные рациональные числа r входят в область вещественных чисел посредством процедуры гв6щ = lim r, так и каждое элементарное число А входит в область
П^-от
существенных чисел посредством процедуры
А сущ = limit A.
сущ V
Проще говоря, числу Асущ отвечает класс эквивалентности, который содержит стационарную последовательность [А] и множество других последовательностей [Av,] таких, что
limit(A - Av,) = 0Сущ.
Возьмем, например, два элементарных числа
1 + j 1 - j 2 , 2 ’
где по-прежнему j = Lim(-1) n+1. Перейдем к существенным числам
n
b 1 = limit , b 2 = limit1—L.
v 2 v 2
Очевидно, что b 1 • b2 = 0сущ, т.е. b 1, b 2 _ делители нуля. Таким образом, область существенных чисел включает в себя делители нуля.
Можно ли построить числа, обратные делителям нуля? Это можно сделать, взяв за образец способ построения числа 1 / 0сущ. Примем следующее
