Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Данное число несравнимо с числами А и В. Но, с другой стороны, числа А сущ - Ссущ и Всущ - Ссущ являются бесконечно малыми. (Именно в этом смысле будем говорить, что точки типа (2) удалены от существенной прямой на бесконечно малые расстояния.)
Таким образом, для точек вещественной прямой нарушения линейного порядка наблюдаются только локально, на микромасштабных уровнях. На уровнях больших масштабов линейный порядок восстанавливается. Доказательство почти очевидно. Пусть aE^ и b вещ — два различных вещественных числа, sa — существенное число, которое входит в состав числа aH64, sp — входит в состав b вещ. Если aH64 < b вещ, то аналогичное условие будет иметь место и для любых элементарных чисел, входящих в состав aH64 и b вещ. Операция перехода к существенным числам типа (2) знак неравенства не меняет. Поэтому sa < sp и, следовательно, на данных масштабах линейный порядок есть.
Далее ясно, что при данной степени разрешения вещественная прямая уже не выглядит непрерывной. Можно указать сколько угодно последовательностей элементарных чисел, входящих в состав вещественных чисел, которые, будучи фундаментальными, тем не менее предела не имеют. Например, в первоначальном составе вещественного числа евещ нет ни одного объекта, который можно считать пределом последовательности (1), т.е. ядром неперова числа. Поэтому естественно построить соответствующее пополнение и новые точки также включить в состав вещественной прямой. Новые точки (числа) будем называть точками (числами) пополнения. Точки (числа), которые входили в состав вещественной прямой изначально на основе определения Кантора и процедуры (1), будем называть точками (числами) первоначального состава вещественной прямой. Например, числа вида (1) —
это числа первоначального состава вещественного числа евещ, а числа вида
s = limit Av (3)
vv
— числа пополнения. Здесь Av — числа первоначального состава евещ и последовательность Av к стационарной не сводится.
Очевидно, что некоторые из чисел первоначального состава и
чисел пополнения попадают на существенную прямую, а некото-
рые — нет. Например, числа (1) и число
¦ v(n)
e = limit Lim 1 + —— (4)
1 + — v (n)
принадлежат существенной прямой, а число (2) — не принадлежит. Как отмечалось, число (4) играет особую роль. Оно является ядром числа евещ и служит представителем этого числа в области существенных чисел.
Обратимся теперь к вещественному числу +»вещ. В рамках классического анализа это число (точка на вещественной прямой) представляет собой единый неделимый объект. Однако при взгляде на него с большим разрешением обнаруживаем множество актуальных бесконечно больших чисел вида
D = Lim dn, Бсущ = limit Lim dn,
n v n
где lim dn = + »вещ. Некоторые из данных чисел попадают на сущест-
n——от
венную прямую, некоторые — нет. Здесь также есть только частичный порядок. Пополним данную совокупность чисел. Одна из точек пополнения играет особую роль. Это точка +»сущ — положительная бесконечность в области существенных чисел. (Ядро числа +<» .)
Аналогично можно сделать пополнение чисел из совокупностей
-»сущ и отсущ.
Таким образом, мы выделили специальную подобласть области существенных чисел. Числа, которые включены в данную подобласть, либо входят в первоначальный состав вещественных чисел, либо принадлежат пополнению этого состава. Данная подобласть включает в себя существенную прямую. На этом основании указанную подобласть можно назвать существенной прямой с ореолом. По определению ядро а вещественного числа a является стандартной частью любого существенного числа s, входящего в состав пополнения вещественного числа a: а* = sts. Стандартная часть положительных (отрицательных) бесконечно больших чисел — это +»суш (-®сущ), например stw = »Сущ.
Неформально всю картину можно себе представить таким образом. Возьмем пространство элементарных чисел. Каждое вещественное число в этом пространстве представляет собой совокупность определенных чисел, что-то вроде туманности с размытой внешней границей. Например, число 0вещ — это совокупность чисел
0, E, 2E, 3E,... Ej и т.д. Процедура (3) пополнила данное пространство, а процедура типа (4) позволила «в центре» каждого вещественного числа поставить «точку». При этом существенная прямая прошила, подобно спице, все туманности вещественных чисел.
Еще нагляднее сделать сравнение, используя следующие образы. Пусть вещественной прямой соответствует ряд шарообразных тел, которые соприкасаются друг с другом в диаметрально противоположных точках. Между шарами никаких зазоров нет, поэтому вставить между ними (в точке контакта) ничего невозможно. На этом основании будем считать, что данное свойство соответствует свойству непрерывности вещественной прямой. Каждый шар имеет свое индивидуальное имя. Такую конструкцию назовем линейкой 1. Если при измерении некоторого отрезка левый его конец помещается в пределах шара 0вещ, а правый — в пределах шара под именем а, то мы говорим, что длина отрезка равна а. Линейка 2 представляет собой такую же конструкцию, но только с шарами гораздо меньшего диаметра. Данной линейке соответствует существенная прямая. Тот факт, что малые шары также контактируют между собой, соответствует непрерывности существенной прямой. Один из шаров линейки
