Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Ореолы и ядра вещественных рациональных чисел. Пусть an, bn — монотонно возрастающая и убывающая последовательности, сходящиеся к нулю:
lim an = lim bn = 0вещ.
n—от n—от
Продолжим их по непрерывности и обозначим через 0* — объект, локализуемый с помощью неравенств (19). Данный объект будем считать ядром вещественного числа 0вещ. Аналогично определим и ядра других рациональных чисел. Ясно, что ядра и абсолютные ядра вещественных рациональных чисел — это различные объекты. Их различие того же рода, как и различие чисел
и
абс
V 3 ,
вещ
3. Ореолы и ядра несобственных вещественных чисел +от и -от
По определению число +отвещ — это класс эквивалентности неограниченных положительных последовательностей абсолютных рациональных чисел. Причем эквивалентность здесь понимается так: любые две положительные и неограниченные последовательности эквивалентны между собой. Объединим теперь последовательности, которые отличаются друг от друга только конечным числом членов. Данные объединения представляют собой бесконечно большие элементарные числа. Именно из этих чисел и состоит объект, обозначаемый как + отвещ. Иными словами, + отвещ превращается теперь в совокупность положительных бесконечно больших чисел типа w - 1, w,... w2 + 10jw; ... ww + jw2,...
и т.д. Среди этих чисел есть как «натуральные» числа, так и числа, которые нельзя упорядочить относительно «натуральных». Будем считать, что данные числа составляют ореол некоторого ядра.
Как теперь определить само ядро? Будем действовать так же, как и с иррациональными числами: применим многократно операторы форсирования к некоторому элементарному числу из ореола + отвещ. Например, к числу w. В результате придем к цепочке «натуральных» чисел
w < w + 1 <...< w2 <...< ww <... .
Интуитивно ясно, что чем правее число находится в этой цепочке, тем оно ближе к ядру. Поэтому определим ядро таким образом.
Определение 4.5. Ядром числа +»вещ будем называть идеальный объект +<»*, о котором известно, что он больше любого бесконечно большого натурального числа Л, т.е. примем по определению, что
Л < да*. (22)
Ореол и ядро числа (- да) вещ определяются аналогично.
4. Ядра вещественных чисел как числа, образующие поле,
изоморфное полю вещественных чисел
Нетрудно заметить, что определение ядра вещественного числа аналогично определению самого вещественного числа, если опираться на концепцию стягивающихся отрезков. Отличие состоит только в том, что теперь мы должны пользоваться последовательностями, продолженными по непрерывности. Поэтому все операции над ядрами мы ввели, пользуясь этой аналогией.
Пусть a* и b * — ядра двух вещественных чисел a и b. Под суммой (a* + b *) понимается объект, для которого выполняются неравенства (20).
Возьмем теперь вещественное число (a + b) и определим его ядро (a + b)*. Из свойств элементарных чисел следует: если av — непрерывное продолжение последовательности {ап}, а bv — последовательности {bn}, то число (av + bv) будет непрерывным продолжением последовательности {an + bn}. Поэтому для ядра (a + b) имеем
av + Cv < (a + b)* < bv + dv. (23)
Сравнивая (20), (23), приходим к заключению, что
(a + b)* = a * + b *.
Аналогично
(a- b)* = a* - b*, (a • b)* = a* • b*,
В последнем случае b ^ 0вещ.
Поставим в соответствие каждому вещественному числу его ядро. Тогда имеет место следующая
Теорема 4.3. Совокупность ядер вещественных чисел образует поле, изоморфное полю вещественных чисел.
*
*
*
Глава 2 Неархимедова числовая система
§ 5. Область существенных чисел
1. Определение существенных чисел
Исследование строения вещественного числа показало, что оно представляет собой ядро, окруженное ореолом. Ореол — это скопление элементарных чисел, а вот ядро — это число, которое принципиально отличается как от элементарных чисел, так и от абсолютных рациональных чисел, заданных изначально. Ядро вещественного числа — число новой природы. Именно подобные числа необходимы будут для дальнейших построений. Конечно, одних только ядер вещественных чисел недостаточно для построения неархимедова анализа. Требуется описать всю числовую область новых чисел, в которую ядра вещественных чисел вошли бы как часть, подобно каркасу некоторой конструкции. Для этого воспользуемся следующими обстоятельствами.
Пусть вещественное число определяется как идеальный объект, который локализуется с помощью системы стягивающихся отрезков. Согласно Первой аксиоме разрешения, стягивающиеся отрезки определяют вещественное число единственным образом. Обратное неверно. Существуют другие последовательности отрезков, которые приводят к тому же самому вещественному числу. Поэтому в качестве альтернативного варианта само вещественное число можно определять через класс последовательностей координат данных отрезков.
