Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
и, значит, Л < L*, L* / 2,... L* / m,..., где m — любое число из (14). По теореме 4.1 последовательность (15) является монотонно убывающей и ограниченной снизу числом 0.
Выберем из исходной последовательности ее подпоследовательность (отбросив остальные члены и сделав перенумерацию) так, чтобы имели место неравенства
С1 <-, С2 <-Ь... Сп <— ,....
1 10 2 102 n 10n
Зададим теперь некоторое рациональное число е = 1 / m, m — конечное натуральное. Тогда при любом
n > M
= [lgm] + 1 (16)
будет иметь Сп < 1 / m. Правую часть (16) можно заменить на заведомо большее значение m:
п > M
= m. (17)
Берем теперь произвольное число Г = Lim mk из ограниченного ряда
кк
(14). Полагаем Л = Г. Тогда для любого v > Л имеем
C < f
Действительно, необходимо показать, что
Cv = LimC(v(k)) < Lim—^, или C(v(k)) < —
к к mk mk
при v(k) > mk. Последнее следует из (17). Таким образом, если Г взято из ограниченного ряда, то и Л находится также из ограниченного ряда (Л = Г). Что и требовалось доказать. ¦
Теперь все готово для того, чтобы ввести понятие ядра вещественного числа.
Определение 4.3. Если вещественное число а задается последовательностью стягивающихся отрезков [an, bn], то ядром вещественного числа а будем называть идеальный объект а*, о котором по определению известно, что
аv < а* < bv, (18)
где аv, bv — последовательности, полученные непрерывным продолжением an, bn на любые бесконечно большие натуральные значения v. Легко заметить, что запись (18) означает, что
a1 < a2 <...< am <...av <...< a* <...< bv <...< bm <...< b2 < b1. (19)
Будем считать, что объект, определяемый неравенствами (19), является единственным. Значения a1,... aw ...и b1,... bw... естественно назвать приближенными а* (снизу и сверху). Все операции между рациональными числами и ядрами вещественных чисел, а также между двумя ядрами введем через их приближения. Например, если В * — ядро числа В = lim cn = lim dn и
n—-от n—-от
c < < c < c < < В * < < d < < d < < di
1'1------'¦'w---‘'v--------P ------- v-------“w---------“1’
то и под суммой а* + В * будем понимать объект, о котором известно, что
a1 + c1 <... < av + cv <... < а* + В * <... < bv + dv <... < b1 + d 1. (20)
Аналогично определим и другие операции. Здесь прослеживается полная аналогия с теорией вещественных чисел. Различие только в последовательностях приближений: там были последовательности
рациональных чисел порядкового типа 1, здесь — последовательности элементарных чисел порядкового типа 2. Изложенное дает основание для того, чтобы объекты вида a * (то есть ядра вещественных чисел) также называть числами.
Теперь утверждение о единственности объекта, определяемого неравенствами (18), можно сформулировать таким образом:
Вторая аксиома разрешения. Если относительно двух объектов a* и b известно, что
I a* - b*|< Г (21)
для любого натурального бесконечно большого числа Г, то объекты a* и b * между собой совпадают: a* = b *.
Данная аксиома утверждает, что степени локализации числа (19) достаточно для его однозначной идентификации. Точнее было бы сказать наоборот: то, что наблюдается при степени разрешения (19), мы и будем называть единственным идеальным объектом a*.
Вернемся теперь к исходной задаче построения ядра иррационального числа. Покажем, что конструкция (19) ее вполне решает. Объект (19) характеризуется последовательностями своих приближений. Для каждого из приближений имеет смысл операция форсирования. Естественно принять следующее
Определение 4.4. Если объект a* удовлетворяет неравенствам
а1 <...< av <...< a* <...< bv <...< b1,
то под Fa* будем понимать объект, удовлетворяющий неравенствам
Fa1 <...< Fav <...< Fa* <...< Fbv <...< Fb1,
где F — оператор форсирования.
Из монотонности последовательностей {an}, {bn} следует корректность определения (операция форсирования не меняет знаки неравенств). Кроме того, имеем
I т-1 * * I 1
| Fa - a | < —, г
где Г — это любое «натуральное» число. В соответствии со Второй аксиомой разрешения отсюда следует, что Fa* = a*. (Индекс f в обозначении оператора опущен.)
Таким образом, мы добились поставленной цели и нашли объект, форсирование которого не приводит к его изменению. В этом смысле мы можем действительно считать, что если каждому элемен-
тарному числу соответствует определенная скорость сходимости, то объекту а будет соответствовать предельно большая скорость сходимости. Иными словами, ядру вещественного числа соответствует такая скорость сходимости, которую операцией форсирования увеличить уже невозможно.
