Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Необходимо подчеркнуть, что символ «limit» объединяет класс последовательностей, близких друг к другу в смысле определения 5.3. Отсюда не следует, что каждая из последовательностей, принадлежащая данному классу, должна быть обязательно последовательностью «рациональных чисел». Определение 6.1 требует только, чтобы хотя одна из последовательностей этого класса была последовательностью «рациональных» чисел.
Далее возникает следующий вопрос. В области существенных чисел есть подобласть, представляющая собой совокупность ядер вещественных чисел. Данная подобласть изоморфна области вещественных чисел и, значит, обладает всеми их свойствами. В частности, она является линейно упорядоченной. Необходимо ответить на два вопроса: 1) содержит ли совокупность (1) ядра вещественных чисел?
2) в случае отрицательного ответа, необходимо понять, можно ли ядра вещественных чисел упорядочить относительно чисел вида (1). Ответ можно сформулировать в виде следующей теоремы.
Теорема 6.1. Числовая область (1) содержит ядра только рациональных вещественных чисел и не содержит ядер иррациональных чисел. Ядра вещественных иррациональных чисел могут быть упорядочены относительно чисел вида (1) и, следовательно, могут быть включены в состав неархимедовой прямой.
• Доказательство. Далее потребуется определение стандартной части существенного числа.
Определение 6.2. Пусть s — некоторое конечное существенное число. Если найдется рациональное или иррациональное вещественное число а с ядром а* такое, что разность | s - a*| будет числом бесконечно малым, включая нуль, то а* будем считать стандартной частью s:
а* = sts. (2)
По определению стандартной частью бесконечно больших чисел будем считать объект отсутт.
Нетрудно указать правило для вычисления стандартной части любого «рационального» числа р:
т • P(n) р = Lim^^; n^“ Q(n)
здесь P и Q — «целые» числа, т.е. разности «натуральных» чисел, Q ф 0. Например,
Подсчитаем следующий предел (в обычном смысле классического анализа):
Многочлены содержат конечное число слагаемых. Порядок их роста всегда определяется старшим членом. Значит, указанный предел всегда существует и равен либо конечному числу, либо ±да. Коэффициенты в многочленах Р и Q — целые числа. Тогда, если a — конечное число, то a будет рациональным вещественным числом. Обозначим его ядро через a*. Из определений следует, что a* = stp.
Таким образом,
Следовательно, стандартная часть «рационального» числа, если она конечна, будет обязательно числом рациональным. (Ниже достаточно ограничиться только конечным случаем.)
Возьмем несчетные последовательности «рациональных» чисел и их стандартных частей:
Последовательность (3) — фундаментальна. Значит, начиная с некоторого номера разность между соседними членами в (3) становится меньше, чем E = 1/ w. Отсюда сразу следует, что последовательность рациональных (без кавычек) чисел (4) начиная с некоторого номера становится стационарной. Данное рациональное число и будет стандартной частью предела (3). Таким образом, стандартные части чисел пополнения (1) — это всегда числа рациональные. Иными словами, ядра иррациональных чисел в область (1) не входят. Неформально можно сказать так: пополнение (1) уплотняет область «рациональных» чисел, но это уплотнение происходит в пределах ореолов только рациональных вещественных чисел. Таким образом, первая часть теоремы доказана.
Доказательство второй части проще всего получить, если воспользоваться концепцией Дедекинда [106-109].
р = Lim
т. 3nn - 2n3 Lim--------------—.
n^m 7nn - 8n100
n^“ Q(n)
,T . P(n) „ P(n) „
st Lim^^ = a, где a = lim Q.
p 1, p2, — pm, — pv , — ,
stp 1, stp2,...stpm,...stpv,... .
(3)
(4)
Пусть a — некоторое иррациональное вещественное число, т.е.
a = lim r (n) = lim r' (n), (5)
n^-от n^-от
где r (n), r' (n) — абсолютные рациональные числа: r (n) — монотонно возрастающая, r' (n) — монотонно убывающая последовательности. Разобьем пополнение (1) на два класса. Число s будем относить к верхнему классу, если sts > a*, и к нижнему классу, если sts < a*. Так как sts — рационально, то a* есть сечение в области (1). Следовательно, ядра иррациональных чисел можно упорядочить относительно чисел вида (1). Поэтому их можно поместить на неархимедо-вую прямую. Вторая часть теоремы доказана. ¦
Замечание. Описанная процедура похожа на определение вещественного числа по Дедекинду, но не более того. Есть принципиальные отличия. Сечение по Дедекинду определяет единственное иррациональное число. Здесь это не так. Например, если к верхнему (нижнему) классу отнести числа s такие, что s2 > 2 (s2 < 2), то данное сечение определит не только ядро вещественного числа (V2)* , но и множество чисел ореола (V2)*. Иными словами, в каждую щель совокупности (1) можно поместить бесконечно много чисел, связанных с ядрами иррациональных вещественных чисел.
