Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка):
Область существенных чисел:
7) содержит актуальные бесконечно большие и бесконечно малые числа;
8) далее будет показано, что область существенных чисел является полной, т.е. каждая несчетная фундаментальная последовательность существенных чисел (порядкового типа 2) является сходящейся. (Сходимость несчетных фундаментальных последовательностей элементарных чисел следует из самого определения существенных чисел.) Таким образом, область существенных чисел можно считать непрерывной (сплошной).
В заключение отметим, что
9) область существенных чисел расширяется за счет введения следующих неограниченных чисел: 10) отсущ и его составляющих; число отсущ (бесконечность) строится как число, обратное числу 0сущ; 20) чисел, которые строятся как числа, обратные делителям нуля.
§ 6. Неархимедова (существенная) прямая
Для построения математического анализа рассмотренной числовой области вполне достаточно. Принципиальное отличие данной области от области вещественных чисел состоит не столько в неархимедовости, сколько в ее размерности. Область вещественных чисел одномерна, т.е. линейно упорядочена, так что можно говорить о вещественной прямой. Область существенных чисел — многомерна. Здесь есть только частичный порядок. Если в эту область добавить мнимую единицу (а рано или поздно это придется сделать), то далее (в § 8) будет показано, что использование многомерной области с делителями нуля является и необходимым условием для построения анализа.
Неархимедов анализ будем строить, используя в качестве образца классический анализ. Поэтому в ряде определений удобнее брать не всю многомерную область существенных чисел, а только ее одномерную подобласть, которую можно назвать неархимедовой (существенной) прямой. Поставим задачу построения числовой прямой, которая пронизывает многомерную область существенных чисел.
В физическом (точнее, арифметическом) пространстве можно построить сколько угодно прямых. Пространство изотропно, поэтому все подобные прямые будут равноправными. В пространстве же существенных чисел это не так. Здесь можно построить сколько угодно прямых (т.е. числовых подобластей с линейным порядком). Но из всех этих прямых есть только одна прямая (ось), которая отличается от всех остальных принципиально. Это ось, которая содержит в себе изначально заданные натуральные числа и эталонное число w.
Данную прямую будем называть неархимедовой (существенной) прямой или числовой осью. Имея в виду, что ось принадлежит мно-
гомерному пространству существенных чисел, будем говорить, что направление оси — это магистральное направление в указанном многомерном пространстве (см. гл. 11).
При построении числовой прямой (числовой подобласти) будем руководствоваться следующими условиями: числовая подобласть 10) яляется линейно упорядоченной;
20) содержит в себе продолженный натуральный ряд чисел;
30) образует числовое поле;
40) удовлетворяет условию неразрывности: если в области существенных чисел находится число, которое может быть отнесено к числовой подобласти, удовлетворяющей условиям 10-30, то данное число в указанную подобласть включается.
Как следствие, рассматриваемое числовое поле удовлетворяет 50) условию полноты: если полю принадлежит фундаментальная последовательность типа 2, то ему принадлежит и предел этой последовательности;
60) поле содержит в себе подполе, изоморфное полю вещественных чисел и не содержит делителей нуля и, значит, двойных единиц. Кроме того, в рассматриваемой подобласти имеет место аналог аксиомы Архимеда;
70) для любых чисел подобласти 0 < a < b всегда найдется число Л из продолженного натурального ряда такое, что будет иметь место неравенство Л • a > b.
Перейдем к построению неархимедовой прямой. Опыт классического анализа показывает, что для построения вещественной прямой достаточно использовать фундаментальные последовательности рациональных чисел, модуль которых равен отношению двух чисел из натурального ряда. Причем данной прямой оказывается достаточно для удовлетворения всех потребностей классического анализа. Казалось бы, что, повторяя эту процедуру для «рациональных» чисел, мы должны прийти к аналогичному результату, т.е. к неархимедовой прямой, которая обеспечит все потребности неархимедова анализа. Однако это не так. Поэтому пополнение «рациональных» чисел мы не будем называть неархимедовой прямой, а примем, что операция пополнения — это только шаг в созидании этой прямой. Итак,
Определение 6.1. Примем, что совокупность существенных чисел
вида
s = limit р v, (1)
vv
где рv — фундаментальные последовательности «рациональных» чисел, принадлежит к неархимедовой (существенной) прямой по определению.
Совокупность «рациональных» чисел является линейно упорядоченной. Поэтому линейно упорядоченным будет и ее пополнение (1). Легко доказать, что определение не противоречит и остальным условиям, которые приняты для неархимедовой прямой.
