Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Ревуженко А.Ф. -> "Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды" -> 22

Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды - Ревуженко А.Ф.

Ревуженко А.Ф. Математический анализ функций неархимедовой переменной: Специализированный математический аппарат для описания структурных уровней геосреды — Н.: Наука, 2012. — 327 c.
ISBN 978-5-02-019105-1
Скачать (прямая ссылка): matematanaliz2012.pdf
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 124 >> Следующая

Мы определяли ядро вещественного числа через последовательности стягивающихся отрезков, продолженные по непрерывности. Новая идея состоит в том, чтобы, во-первых, определять ядро альтернативным образом — через класс последовательностей, которым отвечают координаты стягивающихся отрезков, продолженные по непрерывности и, во-вторых, снять условие непрерывности и построить числовую область, которая была бы шире, чем область, изоморфная области вещественных чисел.
Определение 5.1. Последовательность элементарных чисел
A1, A 2 — An, — A w, — Av...
называется фундаментальной, если для любого числа Г, принадлежащего продолженному натуральному ряду, найдется такое число Л из того
же натурального ряда, что для любых m, v > Л будут иметь место неравенства
| Am - Av | < g, g = 1/Г.
Определение 5.2. Последовательности элементарных чисел
A1, A 2 — An, — A w, — Av...
B1, B2 .. Bn, .. , .. Bv ..
будем считать эквивалентными, если для любого «натурального» числа Г > 0 найдется такой номер Л, что для любого v > Л будет иметь место следующее условие:
\Av - Bv\< g, g = 1/г.
Теорема 5.1. Если последовательность порядкового типа 2 является фундаментальной, то и последовательность, эквивалентная ей, также будет фундаментальной.
Определение 5.3. Класс эквивалентности фундаментальных последовательностей порядкового типа 2 будем называть существенным числом. Указанный класс эквивалентности, если он содержит последовательность {Av}, обозначим как
s = limit Av. (1)
vv
Определение 5.4. Члены последовательности по отношению к существенному числу s будем называть приближениями s, а число s по отношению к последовательности {Av} — пределом последовательности.
В случае необходимости будем использовать различные уточнения названия: например, о s будем говорить, как о пределе в смысле limit или как о пределе последовательности порядкового типа 2 и т.д.
Объекты (1) названы существенными числами. Для оправдания такого названия необходимо показать, что между данными объектами можно ввести арифметические операции и отношения порядка. Кроме того, мы должны рассмотреть вопрос о том, как новые объекты взаимодействуют с числами, которые мы уже ввели, т.е. с абсолютными рациональными и элементарными числами, а также с ядрами вещественных чисел.
Решение данных вопросов никаких трудностей не вызывает. Его можно изложить в следующем порядке.
Определение 5.5. Существенным нулем 0сущ будем называть класс последовательностей а} порядкового типа 2 таких, что для любого «натурального» числа Г найдется такой номер Л из натурального ряда типа 2, что для любых v > Л будет иметь место условие
Более коротко это же определение можно изложить следующим образом: существенным нулем называется существенное число,
Определение 5.6. Под суммой, разностью, произведением и частным двух последовательностей а}, {bv} порядкового типа 2 понимаются последовательности
В последнем случае предполагаем, что bv ф 0.
Теорема 5.2. Сумма, разность и произведение двух фундаментальных последовательностей типа 2 также будет фундаментальной последовательностью типа 2. Частное двух фундаментальных последовательностей а}, {bv} будет последовательностью фундаментальной, если последовательность {bv} не входит в состав существенного нуля, т.е. limit bv ф 0сущ.
vv
• Доказательство. Фундаментальная последовательность ограничена. Пусть для любого v
Зададим сколь угодно малое бесконечно малое число g > 0, g = 1 / Г, Г — «натуральное». Тогда существует такое Л, что при любых v, m > Л
Последнее означает фундаментальность произведения последовательностей. Аналогичным образом, используя схему [101], можно получить доказательства и остальных случаев. ¦
Из данной теоремы следует корректность следующего определения.
Kl< g, g = 1/г.
равное
0сущ = limit 0эл = limit Lim 0абс.
v v n
av | < M, | bv | < M.
Отсюда
avbv - amЬц| < g.
Определение 5.7. Если
a = limit aV, b = limit bV
V V V V
— два существенных числа, то под их суммой, разностью, произведением и частным будем понимать следующие существенные числа:
а ± р = limit (aV ± bV),
VVV
a • b = limit(aV • bV),
a = limit .
b v ь
V
В последнем равенстве предполагается, что bV ф 0.
Определение 5.8. Примем, что числа
а = limit aV, b = limit bV
V V V V сравнимы между собой, если существует такой номер Л, что для любых V > Л приближения aV и bV между собой сравнимы и знак неравенства с увеличением v не меняется. В противном случае существенные числа будем считать несравнимыми между собой.
Предыдущая << 1 .. 16 17 18 19 20 21 < 22 > 23 24 25 26 27 28 .. 124 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed