Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
1 + а<^; ,'+?<-?; ' + Т<^-.
Очевидно, имеем
и0>и'0>и;>...,
и если Е имеет конечный объем, который я назову также Е, то, каково бы ни было р,
Е<[/?\
поскольку Е составляет часть и(0р).
Следовательно, все числа я, {3, у, .. . меньше чем
Таким образом, они не могут беспредельно возрастать, и мы можем заключить, что в последовательности чисел я, 3, . . начиная с некоторого ранга, все члены равны между собой.
Предположим, что начиная с р-го ранга все члены равны X.
Тогда U„p) и U[p) будут иметь общую часть Ul0p+l>; и U[p+U
будут иметь общую часть U\р+2) и т. д.
Пусть Ех — Х-й последующий Е. Е — множество точек, принадлежащих одновременно U0, U’0, U"a, . .., ad inf\ Ех будет множеством точек, принадлежащих одновременно Ux, U'x, U’x, .. .; я могу также сказать, что Е — множество точек, которые одновременно принадлежат
U(0p+l\ U<p+2\ . . ., (1)
поскольку каждая из областей U0, U'?, . . . является лишь частью предыдущей. Также Ех — множество точек, принадлежащих одновременно
Щр\ ир™ (2)
Устойчивость по Пуассону
139
Но ?7цр+1) —часть UlP\ и(цр+:!) —часть f/jip+1), . . каждый член ряда (2) является частью соответствующего члена ряда (1). Таким образом, Е — часть Ех или же совпадает с Ех.
Но мы предположили, что Е — некоторая область пространства, имеющая конечный объем. Так как жидкость несжимаема, то Х-й последующий этой области Ех должен быть также некоторой областью пространства, обладающей тем же объемом. Следовательно, Е не может быть частью Е-к. Значит, Е и Еу совпадают.
Итак, если предположить, что Е — некоторая область пространства конечного объема, то необходимо допустить, что Е совпадает с одним из своих последующих.
295. Вот несколько теорем, которые почти очевидцы и формулировкой которых я ограничусь. Пусть
На, | U• • •, U а.ц, ? ? ?
— те из последующих U0, которые имеют общую часть с U0; числа расположены в порядке возрастания; мы будем иметь
л I ^ V 1 "Н % ^ р- и •
Пусть, далее,
иъ, иъ, ..., ич
— р. последующих U0, имеющих общую часть друг с другом и с U0. Я выбираю эти числа у таким образом, чтобы у было сколь возможно малым; мы получим
1 +®л<1 + ^<^77--
Если мы вновь примем обозначения п. 291 и обозначим через Ua — первый последующий, который имеет общую часть с U0, через U'0 — эту общую часть, через U'9 — первый последующий ?/', имеющий общую часть с U'0, то я говорю, что если (3 не равно а, мы будем иметь
Р>2<*;
действительно, Uбудет иметь общую часть с U0.
Вероятности
296. В п. 291 мы видели, что существуют молекулы, пересекающие U0 бесконечно много раз. С другой стороны, вообще, среди них имеются другие, которые пересекают U0 лишь конечное число раз. Я ставлю себе целью показать, что эти последние должны рассматриваться как исключительные
140
Новые методы небесной механики. III
или, точнее, что вероятность того, что молекула пересечет ?70 лишь конечное число раз, бесконечно мала [10], если допустить, что эта молекула находится внутри ?70 в начальный момент. Однако сначала я должен объяснить смысл, который придаю слову вероятность. Пусть а (х, у, г) — какая-нибудь положительная функция трех координат х, у, г-, я условлюсь говорить, что вероятность того, что в момент 1 = 0 молекула находится внутри некоторого объема, пропорциональна интегралу
/ = | <р (ж, у, г)с1х<1ус1г,
распространенному на этот объем. Следовательно, она равна интегралу J, деленному на значение этого же интеграла, распространенного на весь сосуд V.
Мы можем произвольным образом выбрать функцию (р, и вероятность окажется, таким образом, определенной полностью; так как траектория молекулы зависит только от ее начального положения, то вероятность того, что молекула будет вести себя тем или иным образом, является полностью определенной величиной, как только выбрана функция ср.
При этих условиях я приму сначала просто ср =1 и буду искать вероятность р того, что молекула не пересечет более к раз области ?70 между моментом —пт и нулевым моментом.
Итак, пусть а0 — область, составляющая часть ио и определенная следующим свойством. Всякая молекула, которая в начальный момент находится внутри а0, пересечет [70 не более к раз между моментами —пт и 0.
Если мы допустим, что наша молекула находится внутри 170 в нулевой момент, то искомая вероятность будет
р=тг- (1)
ио
Пусть
а11 °2> ? ? I °11
— первые п последующих области а0. Среди и + 1 областей
не может существовать более к областей, имеющих общую часть, ибо в противном случае всякая молекула, которая в нулевой момент находилась бы в этой общей области, пересекла бы а0 и, следовательно, ?70 более чем к раз между моментами —пт и 0.
Таким образом, мы имеем
(и +
и, следовательно,
^ кУ
р<Мя-И) и0 '
Устойчивость по Пуассону
141
Каким бы малым ни был объем [70 и сколь велико бы ни было к, всегда можно взять п достаточно большим, чтобы правая часть этого неравенства была сколь угодно малой. Таким образом, когда п стремится к бесконечности, р стремится к нулю.
Итак, вероятность того, что молекула, находящаяся в начальный момент в области ио, пересечет эту область не более к раз между моментами — со и 0, эта вероятность, говорю я, бесконечно лгала.
