Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, пусть М — общая точка U{ и U,.; молекула, находя щаяся в точке М в момент iz, находится в момент 0 в точке М0, принадлежащей U0, поскольку точка М принадлежит U{.
Таким же образом молекула, находящаяся в точке М в момент kz, в момент (k—i)z находится в точке М0, поскольку движение установившееся; с другой стороны, она находится в момент 0 в точке Мк, принадлежащей UQ, так как М принадлежит Uk, и мы должны прийти к выводу, что М0 принадлежит U'k_t.
Таким образом, ?/*_; и U0 имеют общие точки, что и требовалось доказать.
Следовательно, можно выбрать число а таким образом, чтобы U0 и Uа имели общую часть.
Пусть U'0 — эта общая часть; построим U\, U'2, ... по U'a, как мы строим Uj, U2, ... по U0. Мы сможем найти такое число |3, чтобы U'„ и t/g имели общую часть. Пусть U"0—эта общая часть. Мы сможем найти такое число у, чтобы U"0 и U" имели общую часть.
Устойчивость по Пуассону
133
И так далее.
Отсюда вытекает, что и'0 составляет часть ?70, и"0 — часть ?7', ?/о— часть ?7", .... Вообще, ?7?;н1) составит часть ?7</,). Когда число р неограниченно возрастает, объем ?7(р) делается, следовательно, все меньше и меньше.
Согласно хорошо известной теореме, имеется, по крайней мере, одна точка, быть может, несколько, быть может, бесконечное множество точек, принадлежащих одновременно ?70, ?/', ?/", ... и СЦр\ как велико бы ни было р.
Это множество точек, которое я назову Е, будет в некотором роде пределом, к которому стремится объем С1^р\ когда р неограниченно возрастает.
Оно может состоять из изолированных точек; но оно может быть и другим; может, например, случиться, что Е — область пространства конечного объема.
Молекула, которая будет находиться внутри ?70 и, следовательно,
?/а в нулевой момент, будет находиться внутри ?/0 в момент —ят.
Молекула, которая будет находиться внутри и"0 и, следовательно,
в нулевой момент, будет находиться внутри ?7' в момент —[Зт и,
следовательно, внутри ?70 в момент —(я-)-|3)т. Молекула, которая будет
находиться внутри ?7о в нулевой момент, будет находиться внутри и"0 в момент —ут, внутри и'0 в момент — (Р + т) т> внутри ?70 в момент
— (* + Р + Т) т;
Так как ?/([, ?7", ?7' составляют часть ?70, эта молекула будет находиться в четыре различных момента (кратные т) внутри ?70.
Аналогично молекула, которая находится внутри 0^ в нулевой момент, находилась внутри ?70 в р предыдущих моментов (которые равны отрицательным кратным т).
А так как Е составляет часть и[!‘\ как велико бы ни было р, отсюда следует, что молекула, которая в пулевой момент составляет часть Е, проходила через ?70 бесконечное число раз в моменты, которые все равны отрицательным кратным т.
Таким образом, имеются молекулы, которые пересекают объем ?70 бесконечное число раз для любого как угодно малого значения этого объема, что и требовалось доказать.
Уравнения
ё х _ёу __ ёг______^
и V ю
превращаются в
ёх ёу ёг ,,
= —?-=----------= а1,
—и —V —ш
если заменить Ь на —<; следовательно, они сохраняют ту же форму.
134
Новые методы небесной механики. III
Следовательно, подобно тому, как мы только что доказали, что существуют молекулы, которые пересекают С/0 бесконечное число раз до нулевого момента, мы смогли бы доказать, что имеются молекулы, которые пересекают [/0 бесконечное число раз после нулевого момента.
Предыдущее рассуждение указывает нам моменты, когда молекула, которая в нулевой момент принадлежит Е, пересекает 170.
Будучи внутри Е и, следовательно, 1}'0 и 1/а в нулевой момент, она будет внутри ио в момент
—ят.
Будучи внутри Е и, следовательно, ^ и ^ в нулевой момент, она будет находиться внутри и’в и иа в момент
—Р*
и внутри ио в момент
—(а + р) т.
Таким образом, она будет находиться внутри ио в два момента —рт
И _(я-|_р)т.
Поскольку она принадлежит Е и С/"' в нулевой момент, она будет
принадлежать и"а в момент —рт, и’и — в момент —(Р + Т)'їі ио— в мо'
мент —(я + Р + ї) т> так что она пересечет 170 в три момента
—Т*. —(Р + т) —(а + Р "Ь Т) 'с-
Б момент —она принадлежит 171 и> следовательно, С/' и С/а;
в момент
—(я + р) т
она, таким образом, опять будет принадлежать С/0.
В итоге эта молекула должна будет пересечь 17п в различные моменты
—ят, — [Зт, —рт,
—(я + р) т, _(р + р) т, —(я + р) т....
—(а + Р + Т)т......................................................................
где коэффициент при — т будет, таким образом, произвольной комбинацией чисел я, р, р, , . .
Каковы же теперь среди всех этих моментов те, когда молекула будет находиться не только внутри [70, но и внутри С/'?
Легко видеть, что достаточно взять комбинации, в которые не входит число я.
Устойчивость по Пуассону
135
Точно так же моменты, когда молекула будет находиться внутри U'„, будут соответствовать комбинациям, в которые не входят ни число я, НИ ЧИСЛО р.
292. Возьмем снова объемы
Uо, Uv U2 Un. (1)
Условимся говорить для краткости, что каждый из них есть последующий относительно того, который расположен перед ним в последовательности (1), и предшествующий относительно того, который расположен после него.
