Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Л — е<Г— У<А + е,
«1 — ®1 < <«1 Н- е1-
е2 <С[ К2 < Я2 “Ь ®2>
аз — ез<Кз<аз + вз-
Величины е очень малы; К. суть левые части равенств (5), а Т — приведенная живая сила, т. е. левая часть (6).
Проинтегрируем сначала по х\\ найдем
64и ггсс (7т' I ь У’ аххЛх%...
(РР-г- + 27 ) <ш,
где 1г, /2, /3 представляют три главных момента инерции системы.
Я замечу мимоходом, что если выбрать оси координат, параллельные главным осям инерции, то согласно определению I мы будем иметь
4 I 4 , “з а1 + <4 + <4
Мы видим, что интеграл, распространенный на все такие системы значений, что
у + к — -1±|1±?1>0,
конечен, хотя знаменатель \]111^[3 становится бесконечным, когда одна из точек х±, х2, х3 или ж4, хъ, х8 бесконечно удаляется. В самом деле,
154
Новые методы небесной механики. III
в этом случае область интегрирования есть бесконечность третьего порядка, а знаменатель обращается в бесконечность лишь второго порядка [1а].
302. Но хотя рассуждения предыдущих пунктов более неприменимы, тем не менее, из существования интегрального инварианта можно извлечь некоторые заключения, не лишенные интереса.
Итак, предположим, что расстояние Ъ между двумя из тел становится малым и что третье тело удаляется в бесконечность. Третье тело из-за его большого расстояния перестанет возмущать движение двух первых тел, которое станет весьма близким к эллиптическому.
Это третье тело притом будет описывать почти гиперболу вокруг центра тяжести двух первых тел.
Для того чтобы лучше пояснить мою мысль, я сначала возьму простой пример: я предполагаю, что тело описывает гиперболу относительно неподвижной точки. Гипербола состоит из двух ветвей; одна из этих ветвей является аналитическим продолжением другой, хотя для механика траектория состоит только из одной единственной ветви.
Тогда мы можем задаться вопросом, допускает ли траектория в случае задачи трех тел аналитическое продолжение и как его можно определить.
Координаты второго тела относительно первого суть хи х2, х3, координаты третьего тела относительно центра тяжести двух первых тел суть х4, хъ, хв, так что мы приходим к рассмотрению движения двух фиктивных точек, координаты которых относительно трех неподвижных осей суть хг, хг, х3 для первого и х4, х5, х3 — для второго.
Первая из этих точек будет описывать почти эллипс, вторая — почти гиперболу и будет двигаться, бесконечно удаляясь по одной из ветвей этой гиперболы. Для того чтобы получить искомое аналитическое продолжение, построим вторую ветвь этой гиперболы и присоединим ее к эллипсу, описанному первой точкой.
Рассмотрим теперь две частные траектории нашей системы. Для первой начальные условия движения будут таковы, что если ? положительно и очень велико, точка х4, х6, ха находится очень близко к первой ветви гиперболы, а точка хи х2, х3 — очень близко к эллипсу, так что расстояние этих двух точек как от гиперболы, так и от эллипса стремится к нулю, когда ? неограниченно возрастает.
Примем асимптоту гиперболы за ось х4 и пусть V — скорость точки, описывающей эту гиперболу для положительного и очень большого значения ?. Тогда
х4—УЬ
?будет стремиться к конечному и определенному пределу X, когда ? будет неограниченно возрастать.
Устойчивость но Пуассону 1э5
Пусть также п — среднее движение по эллипсу, а I — средняя аномалия, тогда разность
I — Ы
будет стремиться к конечному и определенному пределу 10.
Если мы зададим эллипс и гиперболу и, следовательно, V и п, если кроме того зададим X и 10, то начальные условия движения, соответствующего первой траектории, будут полностью определены.
Рассмотрим теперь вторую траекторию и предположим, что начальные условия движения таковы, что для отрицательного и очень большого г точка Хь, х-а, х0 будет очень близка ко второй ветви гиперболы, а точка а:1, х2< хз — очень близка к эллипсу и что эти две точки приближаются к этим двум кривым, когда I стремится к —со.
Разности
х± — У/, I — п1
стремятся к конечным и определенным пределам X' и когда t стремится к бесконечности.
Начальные условия, соответствующие второй траектории, полностью определены, когда заданы эллипс, гипербола, X' и Г0.
Если мы имеем Х=Х' 1=1'
то обе траектории могут быть рассматриваемы как аналитическое продолжение одна другой.
Рассмотрим теперь систему дифференциальных уравнений
-%- = Х< (1 = 1, 2, ..., п), (1)
где функции X,., зависящие только от хг, х2, . . ., хп, удовлетворяют со-
отношению
У^- = 0-
эти уравнения допускают интегральный инвариант
^ йх1дх2 . . . йхп. (2)
Допустим, что мы узнали каким-то образом, что точка хг, х2, . . ., хн
должна оставаться внутри некоторой области У, аналогичной области У, рассмотренной в предыдущих пунктах, но неограниченно простирающейся таким образом, что интеграл (2), распространенный на эту область, бесконечен. Заключения пунктов 297 и 298 не будут более применимы.
Однако заменим уравнения (1) следующими:
(Ш;)
где М — любая заданная функция хг, х2, .... ха
156
Новые методы небесной механики. III
Точка xlt х2, - • хп, движение которой определяется уравнениями (Ibis), будет описывать те же траектории, что и точка, движение которой определяется уравнениями (1). В самом деле, дифференциальные уравнения этих траекторий как в одном, так и в другом случае суть
