Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 40

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 111 >> Следующая

При этом в предыдущих доказательствах ничего не нужно изменять. Мы вновь найдем, например, неравенство
У < (и+1) ио,
144
Новые методы небесной механики. III
где V и [70 означают интеграл (2), распространенный соответственно на области V и ип.
Мы сможем вывести отсюда те же следствия; в самом деле, интеграл (2), будучи по предположению существенно положительным, обладает тем же свойством, что и объем, а именно, распространенный на всю область, он будет больше интеграла, взятого только по части этой области.
298. Как нам теперь узнать, существует ли такая область V, чтобы точка (хи хг, . . ., хп) всегда оставалась внутри этой области, если она находилась в ней в начальный момент времени?
Предположим, что уравнения (1) допускают интеграл
где к и К — две какие-нибудь постоянные, сколь угодно близкие друг
Ясно, что если эти неравенства удовлетворяются в начальный момент времени, то они будут выполнены всегда. Следовательно, область V удовлетворяет поставленным условиям.
299. Сейчас мы применим эти принципы к ограниченной задаче п. 9 [11]: нулевая масса, круговое движение двух других масс, нулевой наклон Если мы отнесем нулевую массу, движение которой изучаем, к двум осям, вращающимся вокруг общего центра тяжести двух других масс с постоянной угловой скоростью п, равной угловой скорости этих двух других масс; если обозначим через ?, т; координаты нулевой массы относительно двух подвижных осей и через V — силовую функцию, то уравнения движения запишутся в виде
и мы видим тотчас, что они допускают положительный интегральный ив вариант
F(xj, хг, . . ., хп) = const. Рассмотрим область V, определенную неравенствами
h<F <Л\
ДРУГУ-
Приложение к ограниченной задаче
С)
J d\di}dVdt\'.
(2)
Устойчивость по Пуассону
145
С другой стороны, они допускают интеграл Якоби
--jr"'2- = V + ~ (S2 + Ч2) + А, (3)
где h — постоянная.
Поскольку сумма ?,2+т]'2 существенно положительна, то мы должны иметь
V + ~(P + ti 2)>-А. (4) Следовательно, приходим к построению кривых
V + (?z + -rf) = const.
Левая часть соотношения (4) существенно положительна, так как мы имеем
У _ W1 J т2
Г1 г2 *
где т1ят2 — массы двух главных тел, гг и г2 — их расстояния от нулевой массы. Левая часть (4) обращается в бесконечность при г1=0, при г2=0, а также на бесконечности; следовательно, она должна иметь, по меньшей мере, один минимум и две точки, в которых ее две первые производные обращаются в нуль, не имея в них ни максимума, ни минимума.
Вообще, если имеется п относительных минимумов или максимумов, мы будем иметь и+1 точек, в которых обе производные обращаются в нуль, но нет ни максимума, ни минимума.
Однако очевидно, что эти точки, в которых обе производные обращаются в нуль, соответствуют тем частным решениям задачи трех тел, которые Лаплас изучал в главе VI его книги X «Небесная механика».
Но мы получаем две из этих точек, строя на т1тг равносторонний треугольник либо сверху, либо снизу ОТ прямой ТП.уПл, которую мы принимаем за ось ?. Третья вершина этого треугольника является одним из решений задачи.
Все другие точки, удовлетворяющие задаче, лежат на оси Е. Легко видеть, что левая часть (4), когда 5 меняется от —оо до +оо, представляет три и только три минимума, первый — между бесконечностью и массой тlt второй — между обеими массами тх и пг2, третий — между бесконечностью и массой пг2.
dV
Действительно, производная-^- + /г2? обращается в нуль (при tj = 0)
только один раз в каждом из этих интервалов, поскольку она является суммой трех членов, которые все возрастают.
Ю А. Пуанкаре, т. II
146
Новые методы небесной механики. Ill
Уравнения
dV I 2* dV . 2 П
~зг + п 5 — -ц- + п ^ — °>
которые выражают тот факт, что две производные левой части (4) равны нулю, имеют, следовательно, только пять решений, а именно, точки Вх и В2— вершины равносторонних треугольников, точки Ах, А2 и А3, расположенные на оси ?; мы предположим, что эти точки встречаются в следующем порядке
— оо, Av mv А2, тг, А3, -{—оо.
Остается узнать, какие из этих точек соответствуют минимуму; мы знаем заранее, что их существует две.
Заметим, что если мы заставим меняться непрерывным образом обе массы т1 и лг2, то любая из пяти точек А и В всегда будет соответствовать минимуму или же не будет ему соответствовать никогда.
В самом деле, от одного случая к другому можно перейти, только если гессиан левой части (4) обратится в нуль, если две точки А ж В совпадают, чего не произойдет никогда.
Следовательно, достаточно будет изучить частный случай, например тот, когда тх=т2.
В этом случае из соображений симметрии можно предугадать, что оба решения Аг и А3 должны быть одной и той же природы, так же, как и оба решения Вх и В2; следовательно, только Ах ж А3 или же только В1 и В2 соответствуют минимуму. Итак, Аг не соответствует минимуму.
Можно установить, что Ах не соответствует минимуму.
Следовательно, оба минимума соответствуют решениям Вх и В2.
Предположим теперь, что т1 намного меньше т2, что представляет собой случай, имеющий место в природе.
Для достаточно больших значений —h кривая
Предыдущая << 1 .. 34 35 36 37 38 39 < 40 > 41 42 43 44 45 46 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed