Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
Точно так же U2, U3 будут вторым, третьим последующим объема U0. Я могу продолжить последовательность (1) за Un, строя последовательные последующие объема Un
U^l, С^я+2......
Я могу равным образом продолжить ее налево и построить последовательные предшествующие объема U0
U-n . . •
таким образом, что молекулы, которые находятся в нулевой момент в U0, находятся в и_г в момент —х и в U_2 — в момент —2 т.
При этих условиях, если я всегда буду обозначать через V весь объем сосуда и через к — любое целое число, и если мы имеем
kV < (n+l)U0,
то будут существовать точки, которые будут принадлежать одновременно 1 объемам ряда (1).
Действительно, сумма объемов ряда (1) равна (га+1) U0\ если бы ни одна точка не могла принадлежать одновременно более чем к этих объемов, то эта сумма должна была бы быть меньше kV.
Таким образом, мы сможем найти в ряде (1) &+1 объемов
?7яс1 и tjLii и ? ? *,
которые будут иметь общую часть.
Отсюда я делаю вывод, что ft+1 объемов
U 0, ^а,-«0» f'X-'V ? ? ч U
имеют общую часть.
Пусть, например, к=2,
21' <[ (п + 1) L 0\
136
Новые методы небесной механики. III
мы сможем найти три объема
ил, и,, и.г
которые будут иметь общую часть; индексы я, [3, у удовлетворяют условиям
О^З^га; я<^<у.
Отсюда мы заключаем, что три объема
^о. *У..
имеют общую часть, и что то же будет иметь место для трех объемов
и0, и ^
или для трех объемов
[» ^Р-7> и{,
293. Выше мы видели, что имеются молекулы, пересекающие Е/„ бесконечное число раз до нулевого момента, и молекулы, которые пересекают [/0 бесконечное число раз после нулевого момента. Я ставлю перед собой задачу установить, существуют ли среди них такие, которые пересекают и о бесконечно много раз как до, так и после нулевого момента.
Пусть 1/0 — какой-нибудь объем; согласно предыдущему пункту, мы всегда можем найти два таких числа а и я, первое из которых отрицательно, а второе положительно, что три объема
иа, и0, и,
будут иметь общую часть. Пусть 17'0 — эта общая часть.
Любая молекула, находящаяся в 17’0 в нулевой момент, будет находиться в ио в три момента
—ат, 0, —аі.
Из этих трех моментов первый отрицателен, последний положителен. Наша молекула пересечет, следовательно, [70, по крайней мере, один раз до нулевого момента и, по крайней мере, один раз после этого момента.
Поступая в дальнейшем с как с С/0, мы найдем два числа Ь и [3, первое из которых отрицательно, второе положительно, такие, что три объема
и;„ и;
будут иметь общую часть. Пусть Щ — эта общая часть.
Каждая молекула, находящаяся в 1Г0' в нулевой момент, будет находиться в 17'0 в три момента
— |3т, 0, —Ьт
Устойчивость по Пуассону
137
и, следовательно, в U0 в пять моментов
—(я-(-З)т, —?x, 0, — bi, —(а + Ь) х.
Из этих моментов два первых отрицательны, два последних положительны.
Каждая молекула, находящаяся в Е7” в момент 0, пересечет U0, по крайней мере, два раза до нулевого момента и, по крайней мере, два раза после этого момента.
И так далее.
Если мы построим U'” с U", E7JV с U'”, то увидим, что каждая молекула, находящаяся в Щр в момент 0, пересекает С/0, по крайней мере, р раз до нулевого момента и, по крайней мере, р раз после этого момента.
Но U’n составляет часть Е70, Е7" — часть U'0 и так далее. Таким образом, мы будем иметь точечное множество Е (содержащее, по крайней мере, одну точку), составляющее часть всех объемов Uодновременно, как бы ни было велико р.
Каждая молекула, которая в нулевой момент находится в Е, будет, следовательно, также находиться внутри
u0, U'?, U"0, . . ., U^\ ad inf.,
потому что Е — часть всех этих объемов.
Следовательно, она пересечет U0 бесконечно много раз до момента О и бесконечно много раз после этого момента.
Таким образом, существуют молекулы, пересекающие UQ бесконечное число раз как до, так и после нулевого момента, что и требовалось доказать.
294. Множество Е, определенное в п. 291 (так же, как и множество Е, рассмотренное в предыдущем пункте), может состоять из единственной точки (хотя, разумеется, всегда имеется бесконечное число молекул, которые пересекают Uо бесконечно много раз).
Оно может состоять из конечного числа точек или бесконечного числа отдельных точек.
Можно предположить также, что это множество Е обладает конечным объемом; посмотрим, каковы будут следствия из этой гипотезы. Рассмотрим множество Е, определенное в п. 291.
Я рассматриваю последовательность целых чисел
а, ?, .. .,
определенных в этом пункте, и я утверждаю, что
? ^ я.
Действительно, Ua — первый из последующих объема Е7„, имеющий общую часть с U0.
138
Новые методы небесной механики. III
Объем ?7р — первый из последующих объема 1Га, имеющий общую часть с и'0.
Но 1/'0 составляет часть [70, а 17'^ — часть иЕсли, следовательно, и'р имеет общую часть с Е/„, то это значит, что II^ — один из последующих объема 110, имеющий общую часть с ио. Это влечет за собой неравенство
яг^З.
Мы найдем также
Р<7<5<.-- ?
Числа я, Р, у, 8, . . ., следовательно, возрастают или, по крайней мере, никогда не убывают.
С другой стороны, согласно п. 294, мы имеем
