Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
некоторые частные значения, зависящие от р.
Выражая то, что ^ \/'11—интегральный инвариант, мы придем к некоторым алгебраическим уравнениям между р и этими параметрами; эти уравнения должны быть совместными, и ясно, что из них мы полу-
чим параметры в виде алгебраических функций от р.
Коэффициенты формы Пи А будут, следовательно, также алгебраичны по р.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
127
Таким образом, уравнение A-=U является алгебраическим относительно р, и мы можем предположить, что оно преобразовано так, что левая часть — целый полином относительно р.
Итак, будем писать
Л — Д0 + + Р-2^2 + ? ? ?.
Кроме того, Д0 не будет тождественным нулем, если только таковым не будет А. Если бы действительно, А о обращалось в нуль, то А содержало множитель р, который можно было устранить.
Функция А должна обратиться в нуль, когда в ней а:,- и у{ заменены разложениями (5). В таком случае она становится разложимой по степеням р и так как член, не зависящий от р, должен обратиться в нуль, то мы имеем
до№ 2/") = О- (2bis)
Заметим теперь, что мы должны иметь
!/?) = Ро. .
<?„(*!, У°) = Тс ( В)
где 30 и Yo — постоянные. Для того чтобы в этом удостовериться, достаточно вспомнить, что при р=0 движение сводится к кеплерову.
Примем теперь, например,
Я=*5+а| - 1
и напишем уравнение
(г?)»+(*2)* = 1- (4bis)
Заметим далее, что если предположить р = 0, то третье тело будет описывать кеплеров эллипс; пусть ? и т] — координаты этого тела, отнесенные не к подвижным осям, а к осям симметрии этого эллипса.
Тогда уравнения кеплерова эллипса запишутся в виде
S = ^0 + К C0S У + ^2 C0S 2? + ? ? • .
71= Tflj sin <Р -f- TJ2 sin 2cp -f- . . .
Коэффициенты \ будут зависеть от двух постоянных, которыми являются большая полуось и эксцентриситет эллипса, и, следовательно, ОТ И То- При этом мы будем иметь
где среднее движение пл зависит от ро, a 3j — новая постоянная интегрирования.
Пересечение эллипса (6) с окружностью
P + 7f=l
128
Новые методы небесной механики. III
будет иметь место в двух точках, которые будут даны уравнениями
S=COS0, 7] = + sin 0, 'Р=±'Ро- (?)
Далее мы будем иметь
= $ cos (at -f- Э2) -|- т] sin (>ot + 32),
— \ sin (o>f + Э2) — т] cos (oil -f- 32), ^
где S2 — новая постоянная интегрирования.
Мы получим решения уравнения (4bis), комбинируя уравнения (7) и (8), что дает
х° = cos [^0 +JjL(<p0 + 2fcn —at) -f-aj,
А = cos [—9 + - J- (— ?о + 2кг' — si) + йа]
(к — любое целое число).
Для того чтобы решение было периодическим, необходимо и достаточно, чтобы отношение (d/^ было рациональным. Представим это отношение в виде дроби, приведенной к наиболее простому выражению, и пусть D — ее знаменатель. Мы видим, что уравнение (4bis) будет допускать 2D различных решений.
Уравнения (2bis), (3bis) и (4bis) должны были бы допускать лишь ограниченное число решений, каковы бы ни были постоянные ро и j0. Но я могу выбрать ?0 таким образом, чтобы ш/га1 имело какое угодно значение, и, следовательно, чтобы D было сколь угодно большим.
Это может случиться, только если Д0 и, следовательно, А тождественно равно нулю.
Следовательно, дискриминант формы П — тождественный нуль, и эта форма должна свестись к бинарной форме.
Таким же способом мы доказали бы, что не может случиться, чтобы все периодические решения были особыми в смысле п. 257.
Таким образом, доказательство дано только в очень частном случае, но можно предвидеть возможность его распространения на общий случай.
289. Форма П, рассматриваемая как бинарная форма, должна свестись к
ВЩ1\
для точки периодического решения; следовательно, эта бинарная форма будет определенной (т. е. равной сумме двух квадратов), если периодическое решение устойчиво, т. е. если характеристические показатели мнимы; она будет неопределенной (т. е. равной разности двух квадратов), если периодическое решение неустойчиво, т. е. если характеристические показатели вещественны.
Предположим опять, что fi очень мало, и снова возьмем уравнение (4bis).
Интегральные инварианты и асимптотические решения
129
Согласно принципам главы III (п. 42), для заданного значения [30 мы будем иметь, по крайней мере, два периодических решения, из которых одно — устойчиво и одно — неустойчиво. Пусть
а Г С*Г Сл." сч'/
,, а2; со,, а2
— соответствующие значения постоянных и а2.
Пусть
0 + ^(?о-а;) + й; = Ф'. п1
° + + ^ = тогда уравнение (4Ыб) даст для первого периодического решения
*°=СОВ (ф'+
И для второго
*»=cos(f + -^).
Мы сможем без ограничения общности предположить, ЧТО ф" > с}/ и при этом ф' и ф” заключены между 0 и 2-к/Б. Тогда форма П будет
определенной для з*{ = cos ,
неопределенной для я1,’= cos ,
определенной для = COS^'H .
неопределенной для a^ = cos^"-|—,
определенной для зРх = cos (iV -)- 2т:)
неопределенной для = cos (6" -)- 2тс)
что показывает, что дискриминант формы П, рассматриваемой как бинарная форма, должен обращаться в нуль, по крайней мере, 2D раз, откуда, как и выше, можно заключить, что он — тождественный нуль.
Таким образом, форма П сводится к квадрату; следовательно, так как она должна быть равной
