Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 32

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 111 >> Следующая

D -f- Et + Ftг = const,
где D, Е, F разлагаются по степеням Ае*1, А'е~и по синусам и косинусам кратных (t + h) и, с другой стороны, квадратичны относительно
Ыея1, ЬА'е~*‘, ЬС, bh.
Следовательно, мы должны иметь
E = F = 0
и, кроме того, D должно быть независимым от t, что показывает, что D должно быть линейным относительно выражений
ЬАкЬА’к,
А'кА'ЪА$Ар
А'кЪАкЬС,
A'kbA,bh,
bCbh
или относительно выражений, выводимых из них перестановкой Ак и AL или А, и А'..
к 3 3
Коэффициенты будут разложены по степеням произведений АкАк и С (если предположить, что периодическое решение соответствует нулевому значению постоянной живых сил).
286. Обратимся снова к уравнениям (7) п. 280 и будем рассуждать, как в п. 280; мы увидим, что выражение
П = У,Шхлхк,
когда xf и у. заменяются в нем их разложениями в функцииfk, f'k, Ф и в, должно удовлетворять следующим условиям.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
121
1. Оно должно быть линейным относительно следующих количеств:
причем коэффициенты будут разложены по степеням и Ф.
2. Оно не будет зависеть от в, а только от 80.
3. Если эти условия выполнены, то выражение П не будет содержать время ни в показательной форме, ни в тригонометрической.
Остается искать условие того, чтобы время также не входило вне знаков показательных и тригонометрических функций.
Возьмем снова уравнения (9) п. 280; мы увидим, что различным членам таблицы (8Ыз) соответствуют следующие члены:
Заставим сначала исчезнуть члены с tа.
Совокупность этих членов является квадратичной формой относительно
8а0, 8alf . . ., оа:п_1.
Эта квадратичная форма должна быть тождественным нулем. Следовательно, коэффициент при 8afc8a^a должен быть нулем. Но имеется четыре члена, которые могли бы ввести произведение t2Safc8a^., — это члены с
Обозначим для краткости эти четыре выражения через <о2, ша, <о4; тогда совокупность наших четырех членов запишется в виде:
Ф1Ш1 + Фа“» + ФзШ3 +
где ^2, ф3 и ф4 разлагаются по степеням fkf'k и Ф. Для того чтобы коэффициент при 1гЪакЬл^. исчез, мы должны иметь тождественно
(8bis)
ЬАкЬА'к + t {АкЬА'кЬа.к — А'кЬАкЪа.к) — AkA'kt2 (3aj2,
АкА'ЪАкЪА; + A'kA't (АкЫкЪА^ + А^ЬАк) + АкА'кА^’.^кЫр А'кЬАкЬС + AkAktbnkbC,
А'МЖ + А'кг (ЬАкЬа о + А) +
8сзр0 + яа*0, ьс\ sp* + 2ЩЫ0 + mi
(lObis)
Ф1 + Фг + Фз + Ф4 — 0-
122
Новые методы небесной механики. III
Коэффициент при I2 (8а4)а также должен обратиться в нуль; но он происходит от членов с
ад*. г№-
Обозначим для краткости эти три выражения через ш|, о>.', т., а совокупность трех членов — через
+ф>з.
где ф^, фз, фд разлагаются по степеням fkf'k и Ф.
Для того чтобы исчез коэффициент при ?28а2, мы должны были бы иметь
/*/; (ф;+фу—ф;=о. (И)
Для периодического решения мы имеем
А = /; = /, = я = ... = /и_, = = 0.
Все члены, которые содержат множителем одно из выражений, фигурирующих во 2-й, 3-й и 4-й строках таблицы (8Ы.ч), должны тогда обратиться в нуль, ибо каждое из этих выражений содержит множителем {к или }'к.
Следовательно, единственными членами выражения П, не обращающимися в нуль для периодического решения, являются члены с
ад;.5ф§0.§ф2. зв2.
Уравнение (1.1) показывает, что ф' содержит множителем Д./*; следовательно. член ф;8/*8/; равным образом должен обратиться в нуль. Остаются еще только члены с
8Ф2, 8Ф80, 802.
Первый не содержит I, второй содержит время в 1-й степени, третий — во 2-й степени.
Так как только этот третий член содержит I2, он должен быть нулем; если он нуль, то второй член также будет нулем, так как только он содержит ?.
Окончательно, все члены П обращаются в нуль для периодического решения, кроме члена с 8Ф2.
Но в общей задаче динамики, так же как в случаях задачи трех тел, которые мы назвали ограниченной задачей, общей приведенной задачей и плоской приведенной задачей, мы знаем один и только один квадратичный инвариант.
Если я напишу уравнение живых сил в виде
Е=сопзЬ,
Интегральные инварианты и асимптотические решения
123
то этот инвариант является не чем иным, как
5 \/Щ?;
именно этому инварианту соответствует член с 8Ф2, который не обращается в нуль.
Следовательно, если существует квадратичный инвариант, отличный от уже известного, то этот инвариант должен будет обратиться в нуль для всех точек периодического решения.
Другими словами, это периодическое решение должно быть особым в смысле п. 257 в том, что касается этого инварианта.
Мы имели бы исключение, если бы п показателей
не были независимы друг от друга, а если бы между ними имелось соотношение. В этом случае коэффициент при ?2, который является квадратичной формой относительно п переменных
8^2, ...,
в самом деле смог бы обратиться в нуль тождественно без обращения в нуль всех его коэффициентов, поскольку эти п переменных не были бы более независимыми.
Резюмируем: для того чтобы существовали квадратичные инварианты, отличные от тех, которые нам известны, необходимо, чтобы все периодические решения были особыми или частными.
Мало правдоподобно, чтобы это имело место для задачи трех тел.
Случай ограниченной задачи
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed