Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
287. Можно представить другой способ рассмотрения, который мы приложим только к случаю ограниченной задачи. В п. 265 допускалась возможность существования двух квадратичных инвариантов, один из которых известен. Предположим, что эти два квадратичных инварианта существуют, и пусть П — квадратичная форма, соответствующая одному из этих инвариантов. Согласно предыдущему, 1Т может содержать члены с
вд;. /да>, пщ®, дае,
т[\ об2, 8Ф80, 8ф2.
С другой стороны, П — квадратичная форма относительно количеств
0Х19 8^2, ^1» 3^2»
коэффициенты которой — алгебраические функции от х,, .т2, у,, уг.
124
Новые методы небесной механики. III
Вот какими будут переменные xi и у., которые мы выберем. В этой задаче, которую я называю ограниченной, два тела описывают концентрические окружности, а третье, масса которого нуль, движется в плоскости этих окружностей. Я отнесу это третье тело к подвижным осям, вращающимся равномерно вокруг центра тяжести двух первых; одна из этих осей постоянно будет совпадать с прямой, соединяющей два первых тела. Я обозначу через хг и хъ координаты третьего тела относительно этих подвижных осей, а уг и у2 — проекции абсолютной скорости на подвижные оси. Тогда положим
Ф = F -f шG,
где F и G означают функцию живых сил и функцию площадей в абсолютном движении и где о означает угловую скорость вращения двух первых тел вокруг их общего центра тяжести. Уравнения примут каноническую форму
dx{ <1Ф dyi_____ дФ
dt dj/f ’ dt " dx{ '
Интеграл <D=const есть не что ипое, как «интеграл Якоби» (ср. том I, п. 9, стр. 27).
При этих предположениях выражение П будет квадратичной формой относительно
&Ej, Ьх2, Si/j, Ьуг,
коэффициенты которой будут алгебраическими относительно х( и у{. Если мы предположим, что четыре переменных х( и у. связаны соотношением
Ф = const,
которое влечет за собой
8Ф = О,
то четыре переменных SlTj., byi не будут более независимыми; мы сможем исключить одну из них, и П станет тройничной квадратичной формой.
Рассмотрим одну точку периодического решения; для этой точки мы будем иметь
/х=/;=о.
Следовательно, все выражения (1) обратятся в нуль, за исключением
o/jS/J, §02, §Ф80 и 8Ф2.
Если мы предположим, что 8Ф=0, то они все обратятся в нуль за исключением
ЗДо/' и о02.
Интегральные инварианты и асимптотические решения
125
Итак, пусть для точки периодического решения
И = Bofxbf[ + С882.
Совокупность членов с t2 сведется, следовательно, для этой же точки к
+ Ct4**
(ср. выше таблицу (lObis)) и, поскольку fi=f[=0, к
Сг28а2.
Члены с t2 должны исчезнуть; это — единственный, который не обращается в нуль для рассматриваемой точки; все остальные — нули, даже если бы мы не подчинили их условию 8Ф=0, ибо8Ф88 и 8Ф2 не дают членов с t2.
Но Зад не есть тождественный нуль. Мы имеем для точки периодического решения
dan daa dao n
rf/i rf/i “~de ~ ’
но мы не могли бы иметь da„/<i®=0; это значило бы, что имеется непрерывное бесконечное множество периодических решепий одного и того же периода, что не имеет места.
Можно заметить, однако, что dаа/дФ содержит множителем малое количество, которое я обозначу через р, т. е. массу второго тела, и, следовательно, что 8ос0 обращается в нуль при fi=0, т. е. вкеплеровском движении.
Следовательно, члены с t2 могут исчезнуть, только если мы имеем
С=О,
откуда
н^яздз/;.
Но это последнее равенство означало бы, что П сводится к бинарной квадратичной форме и, следовательно, что ее дискриминант нуль. Таким образом, дискриминант А формы П должен был бы обращаться в нуль для всех точек всех периодических решений.
288. Однако алгебраическое соотношение
А=0
не может быть справедливым, по крайней мере, если оно не обращается в тождество для всех точек всех периодических решений.
Действительно, если мы присоединим к соотношению
Д = О (2)
Новые методы небесной механики. III
дна других соотношения
Р = % С = г (3)
(где 6 и т — две произвольные постоянные, и б — две функции, обозначенные так в предыдущем параграфе) и любое четвертое алгебраическое соотношение
Н=О, (4)
то число решений этих четырех алгебраических уравнений будет ограниченным, какими бы ни были постоянные р и -р
Рассмотрим теперь периодическое решение; переменные х1 и у( будут разложены по степеням р в виде
х, = + К + • • • ,
У( = У" + РУ} + ? ? ? ? {)
Функция Р также будет разложима по степеням р, и мы будем иметь
Г Р0 + рР7 . . . .
б и Н будут независимы от р.
Остается А; я говорю, что эта функция, которая по предположению алгебраична по х{ и у(, зависит также алгебраически от р. Действительно, выражая то, что
Ь/тг
— интегральный инвариант, мы придем к определенным соотношениям, в которые войдут коэффициенты П, их производные и коэффициенты дифференциальных уравнений движения.
Мы предположим, что II — алгебраическая функция от и у(\ мы можем предположить, что эта алгебраическая функция относится как частный случай к определенному типу, не содержащему явно р, но зависящему алгебраически от некоторого числа произвольных параметров.
Тогда ^ \Ш не будет интегральным инвариантом при произвольных значениях параметров, а только тогда, когда эти параметры будут принимать
