Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 39

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 111 >> Следующая

Также бесконечно мала вероятность того, что эта молекула пересечет эту область не более к раз между моментами 0 и 4_со-
Положим теперь п=к?+х. Вероятность того, что молекула пересечет ио не более к раз между моментами —(к3-\-х) т и 0, будет меньше
кУ
(*з+я + 1, и0 ?
Она стремится к нулю, когда к неограниченно возрастает.
Вероятность Р того, что молекула не пересекает ио бесконечное число раз между моментами —со и 0, таким образом, бесконечно мала.
В самом деле, эта вероятность Р является суммой вероятностей того, что молекула пересечет ио только один раз, что она пересечет 1/0 два и только два раза, что она пересечет ио три и только три раза и т. д.
Но вероятность того, что молекула пересечет ио к и только к раз между моментами —со и 0, очевидно, меньше, чем вероятность того, что она пересечет ио к раз или менее к раз между моментами —(&3+х) т и 0, меньше, следовательно, чем
/г К
(*:< -|- .Т + 1) и0 ?
Таким образом, общая вероятность Р будет
V 2У кУ
р <"_____________і__________.4. л-------________|_
ґ ^ (X + 2) и0 Т {х + !))?/„ -Г ? ? ? Т- (А3 + * + 1) и0 ^ ? ? ? ?
Ряд в правой части сходится равномерно. Каждый из членов стремится к нулю, когда х стремится к бесконечности. Таким образом, сумма этого ряда стремится к нулю. Следовательно, вероятность Р бесконечно мала.
Также бесконечно мала вероятность того, что молекула не пересечет ио бесконечное число раз между моментами 0 и +оэ.
Те же результаты имеют место, когда вместо того, чтобы принять ф— 1, выбирают функцию ср любым другим образом.
Тогда равенство (1) должно быть заменено следующим:
где / (а0) и / (1/0) означают интеграл /, распространенный соответственно на области °0 и 170.
142
Новые методы небесной механики. III
Я предполагаю, что функция ф непрерывна; следовательно, она не становится бесконечной, и я могу назначить ей верхний предел р; тогда будем иметь
I Ы <
и поскольку
(п + 1) ао <С кУ,
то отсюда выведем
(л + 1) / (и0) ?
Каким бы малым ни было значение /(?/„) и сколь велико бы ни было /с, всегда можно взять п достаточно большим, чтобы правая часть этого неравенства была сколь угодно малой. Итак, мы снова приходим к тем же результатам, которые, таким образом, не зависят от выбора функции «.
В итоге молекулы, пересекающие 170 только конечное число раз, исключительны в той же мере, что и рациональные числа, представляющие исключение в ряду чисел, тогда как иррациональные числа являются правилом.
Таким образом, если Пуассон полагал возможным ответить утвердительно на тот вопрос об устойчивости, который он поставил, хотя он не исключил случай, когда средние движения соизмеримы, мы также имеем право считать устойчивость доказанной, в смысле нашего определения, хотя вынуждены исключить особые молекулы, о которых только что говорили.
Я добавлю, что существование асимптотических решений в достаточной мере доказывает, что эти исключительные молекулы существуют в действительности.
Обобщение предыдущих результатов
297. До сих пор мы ограничивались весьма частным случаем несжимаемой жидкости, заключенной в сосуде, т. е., говоря аналитическим языком, уравнениями вида
д,х йу ___ Лг
где X, У, Z — три функции, связанные между собой соотношением
dX.dY.dZ 0 dx ' dy ' аг ~ 1
и такие, что во всех точках замкнутой поверхности (поверхности сосуда) мы имеем
IX + тУ + пг = О,
где I, т, п — направляющие косинусы нормали к этой замкнутой поверхности.
Устойчивость по Пуассону
Все предыдущие результаты, однако, останутся верными и в гораздо более общих случаях; при этом ничего не надо менять ни в самих результатах, ни в рассуждениях, которые к ним приводят.
Пусть п переменных хг, х2, . . ., хп удовлетворяют дифференциальным уравнениям
*1=^- = ^.= ...=^, (1)
Л1 л2 Л н
где Хг, Х2, . . ., Хи — любые однозначные функции, удовлетворяющие условию
лмхі . амх2 амх„ _ „
<1Х1 <1х2 + ? ? ? + <1х„ ~ ’
так что уравнения (1) допускают интегральный инвариант
^ М(1х1<1х2 . .. йхп. (2)
Я предполагаю, кроме того, что М — положительно; мы будем говорить тогда, что уравнения (1) допускают положительный интегральный инвариант.
Еще я предполагаю, что уравнения (1) таковы, что если точка (жц х2, . . хп) находится в начальный момент внутри некоторой области V (играющей ту же роль, которую только что играл сосуд с заключенной в нем жидкостью), то она будет оставаться неопределенно долго внутри этой области.
Наконец, я предполагаю, что интеграл
| М(1х1(1х2 ... (1х!4,
распространенный на эту область, конечен.
В этих условиях, если рассматривается область ?/„, содержащаяся в V, можно будет выбрать бесконечным числом способов начальное положение точки (хг, х2, . . ., хя) таким образом, чтобы эта точка пересекала эту область ио бесконечно много раз. Если этот выбор начального положения делается наудачу внутри 170, то вероятность того, что точка (хи х2, . . хп) не пересечет область ио бесконечное число раз, будет бесконечно мала.
Другими словами, если начальные условия не являются исключительными в смысле, который я придал этому слову выше, то точка (хх, х2, . . хп) пройдет бесконечно много раз сколь угодно близко от своего начального положения.
Предыдущая << 1 .. 33 34 35 36 37 38 < 39 > 40 41 42 43 44 45 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed