Избранные труды - Пуанкаре А.
Скачать (прямая ссылка):
будет состоять из трех замкнутых ветвей: Сх, окружающей тх, С2, окружающей т2, и С3, охватывающей Сх и С2. Для меньших значений она будет содержать две замкнутые ветви: Сх, охватывающую тх и т2, С2, окружающую Сх.
Для еще более малых значений мы имели бы единственную замкнутую ветвь, оставляющую пг1 и пг2 снаружи и охватывающую Вх и В2.
Наконец, для еще более малых значений мы будем иметь две симметричные одна другой замкнутые ветви, охватывающие соответственно Вх и В2.
То, что мы сейчас скажем, будет применимо только к двум первым случаям; следовательно, два последних случая мы оставим в стороне.
Устойчивость по Пуассону
147
В первом случае множество точек, удовлетворяющих неравенству (4), распадается на три частичных множества: множество точек, внутренних по отношению к С1г множество точек, внутренних по отношению к С2, множество точек, внешних по отношению к С3.
Во втором случае множество точек, удовлетворяющих (4), распадается на два частичных множества: множество точек, внутренних по отношению к Си множество точек, внешних по отношению к С2.
То, что мы сейчас скажем, неприложимо ни к множеству точек, внешних по отношению к С3 в первом случае, ни к множеству точек, внешних по отношению к Сг во втором случае.
Напротив, оно будет приложимо в первом случае к множеству точек, внутренних по отношению к Сг, или к множеству точек, внутренних по отношению к С2, и во втором случае — к множеству точек, внутренних по отношению к С1.
Для определенности рассмотрим первый случай и множество точек, внутренних по отношению к С2.
В этом случае мы возьмем в качестве области V область, определенную неравенствами
+Л + е> г2-р'2 -Г—^-(Р + ^)>+А-в. (5)
Предположим, что е очень малб и что к имеет такое значение, что мы находимся в условиях первого случая; наконец, для завершения определения области V поместим точку (Т|) внутрь кривой С2.
Тогда ясно, что если точка (?, т], ?', г{) находится в области V в начальный момент времени, то она останется там навсегда.
Чтобы показать, что результаты предыдущих пунктов применимы к случаю, который нас интересует, остается показать, что интеграл
^ йЫг^'й-ц', (2)
распространенный на область V, конечен.
Каким образом этот интеграл может стать бесконечным? Так как кривая С2 замкнута, то ? и т; ограничены; следовательно, интеграл может стать бесконечным, только если ?' и т)' бесконечны. Но в силу неравенств (5) ?' и т]' могут стать бесконечными, только если
станет бесконечным, или, поскольку ? и у] ограничены, если V станет бесконечным.
Но V становится бесконечным при /^=0 и при г2=0. Но так как точка тп1 — внешняя по отношению к С2, то мы должны исследовать только случай
г„ = 0.
10*
148
Новые методы небесной механики. III
Итак, оценим ту часть интеграла, которая лежит в окрестности точки т2. Если г2 очень малб, то сумма ?2+ tj2 очень близка к (От2)2, член т1/г1 также близок к постоянной; так что, если положим
Л + -у-(Р + Ч*) + -7^- = Я,
Н можно будет считать постоянной.
Тогда, если положим
(? — Om^j = г2 cos ш, i\ = r2 sin «, %' — р cos tp, -rj7 = р sin ср,
то неравенства (5) примут вид
Я + в>-?-?-^>Я-в, (5bis)
и интеграл (2) примет вид
j pr2dpdr2dwd<p. (2bis)
Мы присоединим к неравенствам (5bis) неравенство
га<а,
где а — очень малб, поскольку речь идет о том, чтобы оценить часть интеграла, лежащую в окрестности пг2, а оставшаяся часть наверняка конечна.
Если проинтегрируем сначала по ш и по tp, то интеграл (2bis) примет вид
4тс2 J pr2dpdr2. (2ter)
Проинтегрируем сначала по р. Необходимо вычислить интеграл
jPdP = -f,
взятый в пределах
Р = /2(Я—+Л.) и р = )/2(я + .+i). что дает 2е.
Следовательно, интеграл (2ter) приводится к интегралу
а
8k2s J r2dr2 = 4п2еа2,
о
следовательно, он конечен.
Устойчивость но Пуассону
149
Теоремы, доказанные выше, применимы, следовательно, к интересующему нас случаю. Нулевая масса пройдет бесконечное число раз сколь угодно близко от своего начального положения, если не налагаются некоторые исключительные начальные условия, вероятность которых бесконечно мала.
Следовательно, если в ограниченной задаче допустить, что начальные условия таковы, что точка ?, у должна оставаться внутри замкнутой кривой Сх или С2, то первое из условий устойчивости, в смысле п. 290, оказывается выполненным.
Но, более того, равным образом выполнено третье условие: следовательно, имеет место устойчивость по Пуассону.
300. Очевидно, результат будет тем же, каков бы ни был закон притяжения.
В самом деле, если движение материальной точки ?, ч\ определяется уравнениями
dЧ _ (IV d‘^Т) _ (IV
d№ <1у1
или в случае относительного движения уравнениями
Й25 0 d^] _dV
й/2 сИ ~~ (2? ’
Л2г1 I ^
ща + т ц <2^1 ’
так что интеграл живых сил записывается в виде
и если функция V и постоянная h таковы, что значения ? и т] остаются ограниченными, то будет иметь место устойчивость по Пуассону.
Но это не все, то же самое будет в более общем случае.
Пусть хх, х2, . . ., хп — координаты п/3 материальных точек.
Пусть V — силовая функция, зависящая от этих п переменных.
