Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Математика -> Пуанкаре А. -> "Избранные труды" -> 42

Избранные труды - Пуанкаре А.

Пуанкаре А. Избранные труды — Москва , 1972. — 359 c.
Скачать (прямая ссылка): izbrannyetrudi1972.djvu
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 111 >> Следующая

Пусть т1г тп2, . . ., тп — соответствующие массы, так что мы обозначаем через тх, пг2 или через т3 массу материальной точки, координаты которой суть хх, хг и хЙ.
Уравнения запишутся в виде
_ <22*,. dV
* d«2 — dXi '
a интеграл живых сил будет иметь вид
150
Новые методы небесной механики. III
Если функция У и постоянная к таковы, что в силу этого равенства координаты х1 ограничены, то мы будем иметь устойчивость по Пуассону.
Действительно, речь идет о том, чтобы доказать, что интегральный инвариант
^ йх\д,х\ . . . йх'нйх1йхг . . . с1хп (х\ =
конечен, когда интегрирование распространено на область, которую я назвал У и которая определяется неравенствами
Г+*-.<2^(^)1<1' + Л+.. (,)
Обозначим через А интеграл
^ йх[йх'2 . . . (1х'п, взятый по области, определенной неравенством
Этот же интеграл, распространенный на область
2-^*;2<д2>
очевидно, будет равен
АВ".
Взятый по области, определенной неравенствами (1), он будет равен А [(7 + Л + е)п/2-(7Н- /г-е)п/2], или, поскольку е очень мало,
п
пАе (У к)- \
Следовательно, интегральный инвариант равен
'^-1
пАв ^ (У + /г)2 Лх1(1х2 .. . с1хп, (2)
причем интегрирование должно быть распространено на все такие точки, чтобы выражение У+й было положительным.
Согласно моему предположению, область У+й > 0 ограничена.
В таком случае будет легко узнать, является ли интеграл (2) конечным или бесконечным.
Устойчивость по Пуассону
151
Он всегда будет конечным, если п— 2, ибо в этом случае показатель степени у У+Л. равен нулю.
Предположим теперь, что п>2и что выражение У-|-й становится бесконечно большим порядка р, когда расстояние между двумя точками хх, х2, х3 и Хц, хй, х6 становится бесконечно малым первого порядка. Тогда величина под знаком интеграла в (2) будет порядка
Кт-1)-
Многообразие
ж1=ж4, х2=х5, х3=хл
имеет п—3 измерения; интеграл имеет порядок щ условие того, чтобы интеграл был конечен, записывается, следовательно, в виде
п_(п_3)>р(-у — 1),
откуда
Это условие того, чтобы имела место устойчивость по Пуассону.
Приложение к задаче трех тел
301. Предыдущие рассуждения приложимы к случаю, когда уравнение
2^Ш!=y+,, <4>
влечет за собой следствие, что х. могут изменяться только в конечных пределах.
К сожалению, в задаче трех тел этого нет. Я приму обозначения п. 11; я обозначу через хх, х2, х3 координаты второго тела относительно первого; через я4, х5, хв —координаты третьего тела относительно центра тяжести двух первых; через а, Ь, с — расстояния между тремя телами; через Мх, М2, М3 — их массы и, наконец, через
т1 = т2 = т3 = р, тх = ть = тй = Р'
— величины, которые в п. 11 я назвал р и Р'.
Тогда мы будем иметь
тт М2Мз . М3М\ , мхм2
а Ь “г с '
152
Новые методы небесной механики. III
Равенство (1) влечет
К+А > 0. (2)
Функция V существенно положительна; если, следовательно, постоянная к положительна, то неравенство будет удовлетворяться всегда; но вопрос заключается в том, чтобы узнать, можно ли давать А достаточно малые отрицательные аначения, чтобы неравенство могло удовлетворяться только для ограниченных значений координат х.. Это сводится к вопросу о том, может ли удовлетворяться неравенство
| М3М1 | Мф1г ^ 0 (3)
присоединенное к неравенствам, налагаемым на три стороны треугольника а-\-Ъ^> с, Ъ-\-с^>а, а-\-с >6 (4)
только для конечных значений а, Ъ, с.
Примем а—с и очень большим; примем Ъ очень малым; неравенства (4) выполняются сами собой.
Что касается неравенства (3), которое принимает вид
то оно может быть удовлетворено, каково бы ни было А, сколь угодно большими значениями а.
Как бы мало ни было А, как бы велико ни было а, всегда можно взять Ь достаточно малым, чтобы левая часть была положительной.
Существование интегралов площадей не изменяет этого заключения; в самом деле, интегралы эти записываются в виде
Р (гЛ Х3Х2> Р; (Х5Хв ХвХв) == а1’
Р (хзх'г — х1хз) + Р' (ХЛ — ХА) = а2> (5)
р (хХ — х2х[) + Р' (х^’в — хъх\) = а3.
В силу этих уравнений имеем
| (*;!+*;?+4)++хП > , (б)
где I — момент инерции, которым обладала бы система, образованная двумя материальными точками, массы которых были бы р и р', а координаты относительно трех неподвижных осей — Ху, хг, х3; г4, хь, хв\ момент инерции, говорю я, который эта система имела бы относительно прямой, служащей мгновенной осью вращения твердого тела, которое совпадало бы
Устойчивость по Пуассону
153.
в данный момент времени с этой системой и вращалось бы таким образом, что постоянные площадей были бы те же, что и для системы.
Тогда неравенство (2) должно быть заменено следующим:
У + Л>д!+|)+-д8. (2Ыз)
Но это неравенство, как и само неравенство (2), может быть удовлетворено сколь угодно большими значениями х(\ ибо для очень больших значений момент инерции I очень велик, и, так как правая часть очень близка к нулю, мы снова возвращаемся к неравенству (2).
Следовательно, мы должны заключить, что рассуждения предыдущего, пункта неприменимы.
Для того чтобы лучше отдать себе в этом отчет, вычислим интегральный инвариант
^ йя'йж' . . . (1х'6с1х1с1х2 . . . с1ха,
распространяя его на область, определенную следующими неравенствами:
Предыдущая << 1 .. 36 37 38 39 40 41 < 42 > 43 44 45 46 47 48 .. 111 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed